整数問題 10 素数再び

(1) p, 2p+1, 4p+1 がいずれも素数であるような p を全て求めよ.
(2) q, 2q+1, 4q-1, 8q+1 がいずれも素数であるような q をすべて求めよ.

補足
全く何処から手をつけていいのか分からないと言うのが第一印象です
(1) が解ければ、(2) に繋がりそうですが、、、、

先ずは実験してみます

識者の方々の考え方も教えてください

from minamino

質問者からの補足コメント

• 

  mtrajcpさん、こんにちは
  
  ご連絡が遅くなりまして申し訳ございません
  
  お元気でしたか？
  
  試行錯誤の連続でしたが
  
  以下のように考えてみました
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/28 10:17

• 

  本当にごめんなさい
  
  問題の転記ミスがありました
  
  正しくは
  >(2) q, 2q+1, 4q-1, 6q-1,8q+1 がいずれも素数であるような q をすべて求めよ.
  
  多大なるご迷惑をお掛しました
  
  ごめんなさい

    補足日時：2023/04/28 15:32

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/01 14:10

＞ 正しくは

＞ (2) q, 2q+1, 4q-1, 6q-1,8q+1 がいずれも素数であるような q をすべて求めよ.

なるほどそうか。
もとの(2)だと、p≡11(mod30)以降がどーにもならないので、
双子素数級の問題かな？と思ってたとこだった。

mod 5 において、各値は表のようになる。
p　　2p+1　4p-1　6q-1　8p+1
0　　1　　　4　　4　　　1
1　　3　　　3　　0　　　4
2　　0　　　2　　1　　　2
3　　2　　　1　　2　　　0
4　　4　　　0　　3　　　3

p ≡ 0 (mod 5) の場合：
p は素数かつ 5 の倍数だから p = 5 に限られる。
このとき、(p,2p+1,4p-1,6p-1,8p+1) = (5,11,19,29,41).
11,19,41 はみな素数であり、これは解である。

p ≡ 1 (mod 5) の場合：
6p-1 は素数かつ 5 の倍数だから 6p-1 = 5 に限られる。
このとき p = 1 であり、素数でない。これは不適である。

p ≡ 2 (mod 5) の場合：
2p+1 は素数かつ 5 の倍数だから 2p+1 = 5 に限られる。
このとき p = 2 であり、
(p,2p+1,4p-1,6p-1,8p+1) = (2,5,7,11,17) となる。
5,7,11,17 はみな素数であり、これは解である。

p ≡ 3 (mod 5) の場合：
4p-1 は素数かつ 5 の倍数だから 4p-1 = 5 に限られる。
この式を満たす有理数 p は、整数ではない。これは不適である。

p ≡ 4 (mod 5) の場合：
8p+1 は素数かつ 5 の倍数だから 8p+1 = 5 に限られる。
この式を満たす有理数 p は、整数ではない。これは不適である。

以上より、解は p = 2, 5 である。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/28 17:10

(1)

p
2p+1
4p+1
がいずれも素数とする

p≧2
2p+1≧5
4p+1≧11

p=0.or.1.or.2(mod3)

p=1(mod3)と仮定すると
2p+1=0(mod3)
5≦2p+1は5以上の3の倍数だから素数でないから
p≠1(mod3)

p=2(mod3)と仮定すると
4p+1=0mod3
11≦4p+1は11以上の3の倍数だから素数でないから
p≠2(mod3)
だから
p=0(mod3)
pは3の倍数の素数だから
∴
p=3

(2)
q
2q+1
4q-1
6q-1
8q+1
がいずれも素数とすると
q≧2
2q+1≧5
4q-1≧7
6q-1≧11
8q+1≧17

q=0.or.1.or.2.or.3.or.4(mod5)

q=1(mod5)と仮定すると
6q-1=0(mod5)
11≦6q-1は11以上の5の倍数で素数でないから
q≠1(mod5)

q=3(mod5)と仮定すると
8q+1=0(mod5)
17≦8q+1は17以上の5の倍数で素数でないから
q≠3(mod5)

q=4(mod5)と仮定すると
4q-1=0(mod5)
7≦4q-1は7以上の5の倍数で素数でないから
q≠4(mod5)

q=2(mod5)のとき
2q+1=0(mod5)
2q+1は素数だから

2q+1=5
q=2
4q-1=7
6q-1=11
8q+1=17

q=0(mod5)のとき
qは素数だから

q=5
2q+1=11
4q-1=19
6q-1=29
8q+1=41

∴
q=2
または
q=5

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/26 16:20

(1)

p
2p+1
4p+1
がいずれも素数とする

p=2と仮定すると
4p+1=9は素数でないから
p≧3
2p+1≧7
4p+1≧13

p=3のとき2p+1=7,4p+1=13

p≠3と仮定すると
p≧5
2p+1≧11
4p+1≧23
pは5以上の素数で3の倍数でないから
p=1.or.2(mod3)

p=1mod3のとき
2p+1=0mod3
2p+1≧11は11以上の素数で3の倍数だから素数でないから

p=2mod3
4p+1=0mod3
4p+1≧23は23以上の素数で3の倍数だから素数でないから

∴
p=3