今、代数学の"体"について、勉強しているのですが、「○から△の中への同型写像」という表現と、「○から△の上への同型写像」という表現の2通りがあり、"中への"と"上への"の使い方の違いがわかりません。
 同型写像といえば、全単射なのだから、わざわざ"上への"とかいう必要があるのでしょうか。。??
 どなたか、お知恵をお貸しくださいませ。

A 回答 (3件)

K, L, Mを体とし、L⊃M としておきましょう。


f:K→Mが同型写像のとき、fはKからLの中への同型写像と言えます。またfはKからMの上への同型写像です。「中へ」「上へ」とわざわざ断ることがあるのは、上記2つの区別をしたいからです。
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この回答へのお礼

 ken1tar0u様、本当にわかりやすい回答ありがとうございます!!とても納得しました☆
 ken1tar0u様のいわれたとおりの考え方で読んでいくと、文章の意味がちゃんとつながりました(^^)♪
 本当にうれしいです。どうもありがとうございました☆

お礼日時:2005/04/22 10:18

修正



同型でなく準同型では?

「中への写像」は全車(単車も)とは限らない
「上への写像」は全車

です
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この回答へのお礼

guuman様、どうもありがとうございました!!
私も実は読み間違えかなと思ったり、逆に本が間違えているのでは…??なんて思っていたのですが、どうもそうではなかったみたいです(^^;笑
 ですが、お力を下さったguuman様には心より感謝いたします。どうもありがとうございました☆

お礼日時:2005/04/22 10:14

同型でなく準同型では?



「中への写像」は単車
「上への写像」は全車

です
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Q子どもが体のあちこちが痛いと言います。心配です

こんばんわ。
8歳の息子の症状が何に当てはまるのか、何科を受診したらいいかも皆目見当が付きませんのでよろしくお願いします。

タイトルの通りで、頭痛、耳の奥、腕、指、肘、足、膝、踵、足の裏と次々痛いところが変わり、数秒から数分で治まります。1日中、あっちが痛いこっちが痛いと言うので心配です。

1ヶ月前に学校の廊下で走っていて転び、右耳を壁にぶつけて耳を2箇所切って腫れ上がらせて以来、自家中毒にかかったり下痢になったりで調子が悪い日が続いていました。直後から体を起こすとしんどいとか、気持ち悪くなると言っていたのでレントゲンやCTを撮って検査しましたが結果は異常なし。1週間前からやっと学校へ行けるようになって一安心していたのに月曜日から上記のような調子で、今日も脳神経外科でCTを撮って結果は異常なしでした。自家中毒の後であちこち痛いと言う子はたまにいますよと言われましたが・・・尿検査の結果はプラスマイナスでした。(自家中毒にかかったときはプラス3でした)

小さい頃からアレルギー体質で喘息があり、今もごくたまに発作を起こします。何か関係あるのでしょうか。

このような状態で何科にかかったらいいのでしょうか?小児科では学校で何か嫌なことでもあるのかというようなことを言われ、なんとなく親身でないような印象で納得できませんでした。(続くようならリウマチ検査をするということです)

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Aベストアンサー

 子どもに痛みを訴えられるのは、本当に心配ですよね。
 きっと、非常に繊細なお子さんなのだろうと思います。

 基本的には、小児科になると思います。ただし、痛みの原因をキチンと検査した上で、心療内科・カウンセリングも考慮されたらいかがでしょうか。
 「学校で何か嫌なことでもあるのか」という小児科の意見は大事な指摘だと思います。

 我が家でも、長男が小学1・2年の頃に同じような時期がありました。原因が、教員のイジメ(精神的虐待)にあったことを本人が打ち明けたのは、6年生になってからのことでした。
 当時、あっちが痛いこっちが痛いと言われる度に右往左往していたのですが、学校に原因がありそうだと気付いて、息子に「学校に行って教育を受けるのは、憲法で保障された権利だ。同時に、学校(行政)には教育を受けられるようにする義務がある(勿論、子どもにわかる言い方で説明)。だから、行きたくないのなら、行かなくても良い」と宣言しました。以来、ストレス無く、学校を休めるようにしたことで、「痛い」と言う事はなくなりました。(不登校・登校拒否をすすめている訳ではありません)
 後に、息子から当時の話を聞いてわかったのは、教員が『学級王国』の絶対の女王様だったこと、親を理由にした陰湿なイジメなど、精神的な虐待を受けて、苦痛を親にも言えなくなっていたことです。
 あの時に、心療内科・カウンセリングなどに行っていれば、もっと別の対応があったのではないかと反省しています。

 ちなみに、その息子も中学生。子どもの個性や憲法と教育基本法を尊重する学校(私学)に進学してからは、優れた教師と友人にめぐまれ、「休むのがもったいない」と言うようになっています。

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Q写像に関する問題で単射、全射、全単射を選ぶ問題についての質問です

大学の問題で、

関数f,g:N→Nを以下のように定義する。

f(n) = 3n, g(n) = [n/3]+1     ※[ ]は床関数を表す

fとgの合成gfが満たす性質を選べ。
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という問題なのですが、gfが1となる元が存在しないので(B)の単射だが全射ではないと思うのですが、回答を見たら(D)の全単射でした。なぜ全射になるのか分らないのですが、教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

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その通り。
gf は、全射ではないです。
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Q体をねじったり、息を吸うと、背中(左肺の裏)が痛いのは病気ですか?

できましたら、医療関係の方のご回答お願い致します。
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今日は大変寒いので、そのせいかな?とも思いますが、病気だとしたら・・・と思い、質問させて頂きました。
今仕事中で、このままでは捗らない為、一時的でも楽にする方法もご存知でしたら宜しくお願いします。
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※何年も前に、同じ様な事がありましたが、その時は冷静にしておさまりました。

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医療関係者ではありませんが経験から回答をさせて頂きます上腕の痺れはありませんか?あれば頚椎の椎間板ヘルニアだと思います 私も経験者です 近くに評判のいい整形外科があれば受診をお勧めします 腰のヘルニアと同じで慢性的に症状が出ます 入浴の際に首筋にシャワーを当てると楽になります いい薬もありますから早めに受診された方がいいですよ

Q体の『同型』と『○上同型』のちがい

お世話になっております。体の同型についての質問です。

体L_1、L_2が共に体Kの拡大体であるとします。
このとき、
(i)L_1とL_2は同型である
(ii)L_1とL_2はK上同型である
の違いがわかりません。"K上"が付くことで何が変わるのか説明していただけませんでしょうか。
ちなみに体L_1とL_2が同型であることの定義は、
∃f:L_1→L_2 s.t. fは環準同型かつ全単射
で与えられています。

体の同型に関しての知識が疎く、初歩的な質問で申し訳ありません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>>(i)L_1とL_2は同型である
体L_1から体L_2への同型写像σが存在するということですから、これについては問題ないでしょう。

>>(ii)L_1とL_2はK上同型である
L_1とL_2はKの拡大体ですよね。このとき、Kの要素を不変にする、体L_1から体L_2への同型写像σが存在するということです。
もっと詳しく言えば、L_1からL_2への同型写像σが、Kの任意の要素を不変にするとき、つまり、K⊂(L_1)の任意の要素aについて、
σ(a)=a
となるような同型写像σが存在するということです。

Q体のあちこちが痛い

1週間くらい前に左脇腹から背中にかけて痛みがあり、続いて右脇の下から肩甲骨にかけて痛くなってきました。
最近は右腕がだるくなるような違和感や膝の内側にチクチクするような痛みがあります。
これらの痛みは数分で治まり、痛みが色々移動します。

病院に行くにも、どの科に診察してもらえば良いかわかりません。
どなたか良いアドバイスをいただけませんでしょうか?

Aベストアンサー

ベストは神経内科かな。
リウマチ科とかの看板も一緒に掲げてる整形外科医院とかあればそちらでもいいかもしれません。
近くにどちらも無ければ普通の内科ですね。

Q写像の単射と全単射

写像の定義に関して本で

単射: 任意のyに対して、xに関する方程式f(x)=yの解xが一意的
全射: 任意のyに対して、xに関する方程式f(x)=yの解xが存在
全単射: 任意のyに対して、xに関する方程式f(x)=yの解xが一意的に存在

という説明がありました。

単射であって全単射でない場合はあるのでしょうか?具体例を教えて
いただければと思います。

Aベストアンサー

f:R→Rで考えると、
(1) y=e^x
(2) y=1/(e^x+1)
などが、単射ですが全射ではありません。
(1)の値域は、y>0
(2)の値域は、0<y<1

Q体の中心寄りの右胸内部が呼吸するだけでチクチク痛い

今朝頻拍の発作があり、そのまま夕方まで続いていました。
その間、頻脈が鬱陶しいので深呼吸したり息を止めてみたりするのが癖なのですが、
今日は大きく何度も息を吸ったせいか、2時間ほど前から胸が痛み始めました。
痛いのは体の中心少し右側で、乳房ではなくもっと奥です。
体を動かしたり息をするだけでチクチク痛いです。時折痛むのではなく、息をしている限りずっと痛いです。
逆に、息を吐いてからそのまま止めて、体も動かさずじっとすると、ぴたっと痛みが止まります。
今日無理な呼吸をしすぎたからでしょうか?
1時間ほど前に2階まで階段を上がっただけで、ものすごい息切れと、動悸と、体全体の疲労感がしました。
5分ぐらい走ってきたあとのような感覚でした。肺がおかしくなってしまったのでしょうか?
今もずっとじっと座っているのにもかかわらずドキドキしているのですが、いつもの頻拍発作なのか、動機息切れなのかよくわからない感じです。脈拍は1分間に150弱です。いつもの頻拍時よりはずいぶん少ないです。

右胸が痛む病気や原因等が知りたいです。

頻拍発作についてですが、
去年の今頃に検査してもらい、医師に、WPW症候群等の発作性頻拍の診断を受けています。
医師には手術を勧められたのですが、
お酒をやめる、夜中に働かない等で改善させていこうと試みている所です。

今朝頻拍の発作があり、そのまま夕方まで続いていました。
その間、頻脈が鬱陶しいので深呼吸したり息を止めてみたりするのが癖なのですが、
今日は大きく何度も息を吸ったせいか、2時間ほど前から胸が痛み始めました。
痛いのは体の中心少し右側で、乳房ではなくもっと奥です。
体を動かしたり息をするだけでチクチク痛いです。時折痛むのではなく、息をしている限りずっと痛いです。
逆に、息を吐いてからそのまま止めて、体も動かさずじっとすると、ぴたっと痛みが止まります。
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Aベストアンサー

(Q)右胸が痛む病気や原因等が知りたいです。
(A)ならば、医師の診察を受けてください。

肺には、痛みを感じる神経がないので、肺自体に病変があっても、
痛みは感じません。
その代りに、肋骨の間にある肋間神経はとても敏感で、
ちょっとした刺激にも強い痛みを感じます。
だから、呼吸を止めると痛みが止まるのです。

また、WPW症候群をお持ちとのことですから、
それが原因ということも考えられます。

例えば、「腰が痛い」とします。
ほとんどの人は、「腰が痛いから、痛い」と考えますが、
実際には、腰の刺激が神経を伝達して、脳に達して、
脳がそれを分析して、「痛い」と判断するから、痛いのです。
つまり、痛いと感じているのは、腰ではなく、脳なのです。
だから、腰と脳を繋いでいる神経を麻痺させると
痛みを感じなくなります。
局所麻酔はこの原理を使っているのです。

なので、右肺が痛い=右肺に問題がある ということには
ならないのです。
神経は、末梢から次第に集まって、束となって脳に到達します。
なので、場合によっては、分析が上手くできない場合があるのです。
胆石で、背中が痛いというように、実際とは違う部分を痛みとして
感じる場合があります。
ですから、心臓に問題があるのに、肺の痛みとして感じる
ということはあるのですよ。

(Q)右胸が痛む病気や原因等が知りたいです。
(A)ならば、医師の診察を受けてください。

肺には、痛みを感じる神経がないので、肺自体に病変があっても、
痛みは感じません。
その代りに、肋骨の間にある肋間神経はとても敏感で、
ちょっとした刺激にも強い痛みを感じます。
だから、呼吸を止めると痛みが止まるのです。

また、WPW症候群をお持ちとのことですから、
それが原因ということも考えられます。

例えば、「腰が痛い」とします。
ほとんどの人は、「腰が痛いから、痛い」と考えますが、
実際...続きを読む

QA加群A(Λ)からA加群Mへの準同型写像と同型な物

代数学、加群の勉強をしていたところ壁にぶち当たってしまいました・・・
Aは可換環とします。
A加群Mについて
A(Λ)をAのΛによる直積(すべてのλ∈Λに対してAλ=A)とする
同様にM(Λ)も定めます
HomA(A(Λ),M) と M(Λ)
を考えたときこれら二つは同型になりますか?

ちなみに
AのΛによる直和を(+)Aとして
HomA((+)A,M)とM(Λ)が同型なのは定理として証明が乗っているのですが、それを更に直積まで拡張した場合どうなるのかについては一切の説明がありませんでした。

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Λが無限集合のとき、同型にならないのでは?

一般論として「Λが無限集合のとき、HomA(A(Λ), M) から M(Λ)への同型写像が存在しない」ことが言えるかもしれません。しかし、ここでは、同型写像が存在しない例を示すに留めます。勘違いがあったら、ご容赦ください。

(例)
A = F  F は、2 を法とする整数の剰余類全体からなる体
        ( F = Z/(2Z)、 Zは有理整数環)
Λ = N   N は、 1 以上の整数(自然数)全体
M = F

( Hom(F(N), F) から F(N) への同型写像が存在しないことの証明)

集合としての濃度が両者で異なることを示せば、十分である。以下、集合の濃度を Card( ) で表す。また、連続体濃度(実数全体の集合の濃度)を X で表す。

[1]  Card(F(N)) = X

F の要素が 0 か 1 だから、 F(N) は、 N のべき集合と同一視できる。よって、 Card(F(N)) = X である。

[2]  dim(F(N)) = X

F(N) は、可算個の 0 か 1 を並べたものであって、要素ごとの加減乗により可換環としての構造を持つものである。さらに、 a を F の元として、 F(N) の元の a 倍を、要素ごとの a 倍として定義すれば、 F(N) は、 F 上のベクトル空間としての構造も持つ。したがって、 F(N) は、 F 上の多元環とみなせる。ベクトル空間としての次元(基底の濃度)を、 dim(F(N)) で表すことにする。 F(N) の基底を B とすると、 dim(F(N)) = Card(B) である。

基底の定義により、 F(N) の任意の元は、 B の有限個の元の線形結合で表すことができる。その際、係数としてとり得るのは、 0 か 1 のみである。このような形で表現できる元は、高々 Card(B) 個である(注)。よって、 Card(B) ≧ Card(F(N)) 。一方、 B が F(N) の部分集合なので、 Card(B) ≦ Card(F(N)) 。よって、ベルンシュタインの定理により、 Card(B) = Card(F(N)) 。よって、 [1] により、 Card(B) = X 。すなわち、 dim(F(N)) = X 。

(注)  この部分で、 N が無限集合(したがって B が無限集合)であることを使っている。

[3]  Card(Hom(F(N), F)) = Card(Map(B, F))

B から F への写像全体を Map(B, F) と表すことにする。 F(N) から F への環準同型は、多元環としての準同型でもある。そこで、環準同型と多元環準同型を区別せず、両方とも Hom(F(N), F) で表すことにする。 Hom(F(N), F) の元は、 B の元の行先によって一意的に定まる。一方、 B から F への任意の写像が与えられたとき、これを F(N) から F への多元環準同型に拡張できる。この対応により、 Hom(F(N), F) と Map(B, F) を同一視できる。よって、 Card(Hom(F(N), F)) = Card(Map(B, F)) である。

[4]  Card(Map(B, F)) > X

Map(B, F) は、 B のべき集合と同一視できる。一般に、べき集合の濃度は、もとの集合の濃度より大きい(カントールの対角線論法で証明できる)から、 Card(Map(B, F)) > Card(B) = Dim(F(N)) = X である( 最後の等式は[2] による)。

[5]  結論

[1]、 [3]、 [4] により、 Card(Hom(F(N), F)) > Card(F(N)) である。よって、 Hom(F(N), F) から F(N) への全単射は存在しない。当然、同型写像も存在しない。

Λが無限集合のとき、同型にならないのでは?

一般論として「Λが無限集合のとき、HomA(A(Λ), M) から M(Λ)への同型写像が存在しない」ことが言えるかもしれません。しかし、ここでは、同型写像が存在しない例を示すに留めます。勘違いがあったら、ご容赦ください。

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A = F  F は、2 を法とする整数の剰余類全体からなる体
        ( F = Z/(2Z)、 Zは有理整数環)
Λ = N   N は、 1 以上の整数(自然数)全体
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Q中学生です。 最近ずーっとお腹痛いねん痛いです(5日くらい前からずっと) なんか病気なんですかね。?

中学生です。
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痛いだけでは、解りません。
ガマンできる痛さなのか、転げまわる程の痛さか。

便秘、ノロウイルス、腸閉塞、潰瘍、あるいは心臓疾患。
いずれにしても、消化器内科の受診をお勧めします。
甘く考えていると、死亡することも有りますよ。

Q圏論:単射かつ全射であるのに、同型でない例

圏論を勉強し始めたのですが、「mono(単射) かつ epi(全射)であるのに、iso(同型)でない例」を以下のように考えました。この考え方は正しいでしょうか?


対象 ABC と、射 f:A→B 、g:B→C 、 h=g・f と、自明な3つの恒等射 からなる圏において、

これらは圏の定義を満たす。

fはmono (∵ Aへの射はAの恒等射のみであり、一意)

fはepi (∵ Bからの射は2つ。BからCの射はgのみなので、一意。BからBへの射は恒等射のみなので一意。)

fはisoでない (∵ BからAは射が存在しない)

Aベストアンサー

「自明な3つの恒等射」とはA,B,Cのことで、それが「3つ」だというのはA≠B、A≠Cだという意味でしょう。もしそうならば、なにしろBからAへの射がないんだから、fは同型射になりえない。良いと思いますけど、どのへんが怪しいとお考えなんですか?


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