昔からの疑問なのですが、1変数n次多項式の=0の解は複素数まで拡張すれば、必ずn個あるということで、例えば2次式の場合は2個あるということですよね。しかし、具体例を挙げると、y=x²の場合、0が1個しかない。別に虚数解が隠れているわけでもなく、本当に1個しかなく、これを2個あると見做すために、0を2回重複して数えるというか、2個の解が0で1つに重なっているとしていると思います。
けれど、素朴な疑問として、2個の解って何だ?何と何が重なっているんだろう?と疑問が湧いてくるのです。何とか納得しようと、例えばy=x²ーa² a:実数とし、=0の解が±aでこのaが限りなく0に近づく極限としてy=x²がある。だから、本当は±aという2個の解があるのだけど、それらが限りなく0に近いから、実質、解を0としてよい。だけれども、極限の考えとして、あくまで2個の解があるということで、だから、2個の解が0に重なって(どこまでも重なっていこうとしていて)…
とまあ、納得し切れないところを何とか収めようとしてはみるのですが、何とも、危ういというか、曖昧というべきか。
元々は、n次式には必ずn個の解があるとせんがためですよね。でも、その理由って何でしょう?
確かにn次式にはn個の解、という主張には整合性があり、ピッタリくる綺麗さがありますが、それ以外の理由はあるのでしょうか?
それとも、長いこと慣例、慣習となってきたし、これと言って実害もないのだから、このままでいいじゃないか、というところなのですかね。
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
「重解を重複度の個数と数えれば n次方程式の解は n個」というのは、
標語としては簡潔ですが、所詮言葉遊びです。内容を正しく把握しましょう。
代数学の基本定理とは、「複素係数の代数方程式は、複素数の範囲に
必ず解を持つ」です。これと因数定理を組み合わせると、
「複素係数の n次多項式は、必ず n個の一次式の積に因数分解できる」
となります。本来、 n個あるのは解ではなく、一次因子です。それを
耳障りよく言い換えようとして「n次方程式の解は n個」としてしまうと、
重解を重複して数えるような微調整が必要になります。
No.1
- 回答日時:
数学は抽象化や一般化の学問なので、個という概念に関する自分の価値観をベースに考えてしまうと、このような質問に行き当たる事がありますね。
例えば以下の条件を考えてみましょう。
① x はリンゴとバナナの合計である。
② リンゴの数とバナナの数は等しい。
①の条件から、リンゴ2個とバナナ2個だったり、リンゴ1個とバナナ1個であったり、リンゴ0個とバナナ0個であったりするわけです。
つまり0の重解は、0が2個と考えちゃ駄目なんでしょうか? 2種類の0が1個ずつあると考えても良いのではないですか?
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