高校数学 論理的に不十分

『x,yについての連立方程式sinx+coy=a・・・(1),cosx+siny=b・・・(2)が実数解を持つための条件をa,bを用いて表せ。』
という問題を私はまず式(1)と式(2)の両辺を二乗して足し合わせ
sin(x+y)=a^2+b^2-2/2　-1≦sin(x+y)≦1だから　-1≦a^2+b^2-2/2≦1
∴ a^2+b^2≦4　
と解答したら、論理的に不十分だということで大きく減点されました。
ここで質問なのですが、
質問1　私の答案は何処が論理的に不十分なのでしょうか？
質問2　このような数学の論理上の誤答を避けるにはどうしたらよいでしょうか？
ご回答宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/04/21 01:10

#1 さんの解答に補足

具体的に言えば、

(1),(2) ならば、sin(x+y)=a^2+b^2-2/2
なれど、
sin(x+y)=a^2+b^2-2/2　ならば (1), (2)
とは限りませんよね。sin(x+y)=a^2+b^2-2/2 が実数解を持つ条件を求めても、そのすべての(a,b)の組で (1),(2)が実数解を持つとは限らない、ということです。式の変形を行っていく場合は、常に逆も成立するかどうかを意識するように心がけましょう。とくに二乗するような変形は注意が必要ですね。
x = a ならば x^2 = a^2 ですが、x^2=a^2 ならば x=a とは限らない。
(sinx + cosy)^2 = a^2 ⇒ sinx + cosy = ± a
ですから、sinx + cosy = a が実数解を持たない（かわりに sinx + cosy = -a が実数解を持つ）条件まで求められている可能性がある、ということです。
また、たとえば、「f(x)=0 かつ g(x) = 0」となる条件を求めるような場合にも、これらを連立させて（２つの式を引いて、とか足してってやつ）、 f(x) - g(x) = 0 （とか f(x) + g(x) = 0） となる条件を求めれば、これはf(x) = g(x)（とか f(x) = -g(x)） となる条件を求めている。f(x)=0 かつ g(x)=0 の必要条件ではあっても、そのとき f(x) = 0 かつ g(x) = 0 となるとは限らない。

そういう変形をして条件を出したなら（必要条件）、得られた条件で(1),(2)に実数解があることを示さなければなりません（必要十分）。

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/04/21 17:58

ベクトルを使っても出来るが、敢えて“2乗”に挑戦してみよう。

。。。笑。。。。。。。悪い癖だね。

coy＝a-sinx、siny＝b-cosxと変形すると、2乗して加えると、（a-sinx）＾2＋（b-cosx）＾2＝1‥‥(1)となる。
これは、円：a＾2＋b＾2＝1上の点（sinx、cosx）を中心とする半径1の円をあらわす。
そこで、xを変化させると求める点（a、b）の領域は、a＾2＋b＾2≦4である事は明白だろう。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/04/20 23:35

>質問1　私の答案は何処が論理的に不十分なのでしょうか？

『条件を求めよ』と問題にある場合、それは『必要十分条件を求めよ』という意味です。
得られた条件 a^2 + b^2 <= 4 の場合に「必ず連立方程式に解がある」ことを証明する必要があります。

>質問2　このような数学の論理上の誤答を避けるにはどうしたらよいでしょうか？

経験を積むと自分の解答が不十分であることに自ずと気が付くようになるはず。

あなたの解答も「それらしい条件」になったから不十分であることがわかりにくいですが、

例えば、

-1 <= sin x <= 1
-1 <= cos y <= 1

だから -2 <= a <= 2 、同様に -2 <= b <= 2

と解答されたら「あんまりだ」と思うでしょう？