相対性理論で教えてください。

静止系のAさんのすぐそばを、0.8cの速度でBさんが乗っている宇宙船が通り過ぎました。(cは光速)

通り過ぎる瞬間に、
AはBに無線で問い掛けました。Aが「私は今、ちょうど20歳だが、君は何歳か」と聞いたら、ほとんど間髪をいれずに、「私もちょうど20歳だ」という返事がかえってきました。

次にAがBに問いかけるのは、Aの時間で1年後です。

1年後にAはBに「私は今、21歳だが、君は何歳か」と聞きます。これを1回目とします。それから、ある時間が過ぎたあと、Bはその通信を受け取ります。そして、即座にBは「私は今、○歳だが、君は何歳か」と聞きます。これを2回目とします。

以下、同様に、通信を受け取ったら、即座に「私は今、○歳だが君は何歳か」と返事をします。

n回目について。
n回目に通信する人はAかBのどちらか分かりませんが、相手からの通信を受け取ったら、即座に、「私は今、○歳だが、君は何歳か」と聞きます。

n回目の「私は今○歳」と言うときの○をa(n)とします、

質問。
a(n+1)とa(n)の関係式を教えてください。

また、a(n)の一般項(nを使った式)はどうなりますか。

質問者からの補足コメント

• たぶん、
  a(n+1)とa(n)の関係式よりも、
  a(n)の一般項の式の方が簡単な気がします。

    補足日時：2023/05/31 17:30

• ＞相対性理論では光速に近づくほど質量が増大すると考えられています。
  
  それは昔の話だと思います。
  今はそのように考えないというのが主流ではないのですか。
  質量というのは、あくまでも静止質量のことをさすのではないのですか。
  
  で、質量が増えると考えるとしても、それがどうして、会話にならないのか、教えてください。少なくとも、発信する人は、無重力状態です。質量が増えるだの増えないだのはしゃべり手には関係ありません。宇宙ステーションにいるのと変わりません。
  
  それとも、通信の受け手側に何か問題が発生するのですか。
  
  いすれにしても、
  会話にならないというのは、どういうことですか。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/06/01 20:41

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/01 14:30

なるほど、落ち着いてみると分けなくてもよかった。

ルートがあるので始めはガウスの記号を考えていたが、最後に
簡単になり、そこで終わってしまった。

No.4 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2023/05/31 22:49

相対性理論では光速に近づくほど質量が増大すると考えられています。

よってまともな会話はできないと思います。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/31 19:08

Bの速度をv=0.8c、β=v/c=0.8とする。

A,Bはそれぞれの慣
性系の原点にとる(原点合わせができている)。

nを奇数として、静止系の時刻t[n]にAからBに向けて光を発射
して、静止系の時刻t[n+1]にBに到達したとする。

このとき、Bの静止系での座標をx[n+1]とする。すると
　x[n+1]=vt[n+1]
　t[n+1]=t[n]+x[n+1]/c=t[n]+βt[n+1]
→ t[n+1]=t[n]/(1-β)
すると
　x[n+1]=(v/(1-β))t[n]

この時、運動系の時刻は(返信してくるBの年齢)
　t'[n+1]=γ{t[n+1]-(β/c)x[n+1]}
　　　　=γ{t[n]/(1-β)-(β/c)(v/(1-β))t[n]}
　　　　=γ{t[n]/(1-β)}{1-(β/c)v}=γ(1+β)t[n]
　　　　=( √{(1+β)/(1-β)} )t[n]
　　　　=kt[n]
ここで
　k=√{(1+β)/(1-β)}=√(1.8/0.2)=3
と置いた。

Bは信号を受けると同時に(静止系で時刻 t[n+1])、Aに向けて
返信するので、これが Aに届く、静止系の時刻t[n+2]は
　t[n+2]=t[n+1]+x[n+1]/c
　　　　=t[n]/(1-β)+(v/(1-β))t[n]/c
　　　　={(1+β)/(1-β)}t[n]=k²t[n]
まとめると
　n:奇数
　t'[n+1]=kt[n]
　t[n+2]=k²t[n]
　t[1]=1 (1年後なので、原点合わせから)
となる。

この数列 t[n] は簡単に解けて
　n:奇数
　t[n]=(k²)⁽ⁿ⁻¹⁾/² t[1]=k⁽ⁿ⁻¹⁾=3⁽ⁿ⁻¹⁾
　t'[n+1]=(k²)ⁿ/²=3ⁿ
により、順次時刻が決定される。

これをa[n]にすると、原点合わせの時、共に20歳だったから
　n:奇数
　a[n]=t[n]+20=3⁽ⁿ⁻¹⁾+20
　a[n+1]=t'[n+1]+20=3ⁿ+20

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/05/31 18:08

No.1です。

> AにとってBの時間の進みかたは遅いです

ならば、これも考慮してみましょう。

静止系Aから見れば、0.8c移動系Bの時間の進みは、0.6倍になります。
すれ違った次に、Aからの無線音声がBに届くのは、
A時間で5年後、B時間で3年後なので、
Aが29歳の時に、Bの「23歳」という返事を聞くことになります。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/05/31 16:19

静止系Aと0.8c移動系Bとはいっても、

Bから見ればAが0.8c移動系になります。
それが相対論と言われる所以です。

すれ違った1年後、
AとBの距離は0.8光年離れていながら0.8cで移動中なので、
その時のAの無線音声がBに届くのには4年かかり、
Bの返事がAに届くのもさらに4年かかります。

つまり、すれ違った次に、BがAからの無線音声を聞くのは、
すれ違った5年後なので、返答は「25歳」、
Aがその返事を聞くのはさらに(1年後の)8年後になり、
Aが29歳の時に、Bの「25歳」という返事を聞くことになります。

これを繰り返してみてください。