f=∂U/∂δ になる説明をして欲しいです。 全く別の話かもしれませんが、コンデンサの極板間引力はQ

f=∂U/∂δ
になる説明をして欲しいです。

全く別の話かもしれませんが、コンデンサの極板間引力はQが一定のときはF=-∂U/∂δ でマイナスがついていました。Vが一定のときはF=∂U/∂δ でした。

-がつく理由としてはコンデンサのエネルギーが減少して仕事に使われたと学んだのですが今回の問題はそうでは無いのでしょうか？

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• fとFの文字は気にしないでください。
  両方、単位面積あたりに働く力です
  混同してしまいすみません

    補足日時：2023/06/10 20:49

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/10 22:53

1.

系にかかっている力Fは、エネルギー、座標変化量をdU,dx
とすると
　F=-dU/dx
となります。

今回は
　U=(B²/2μ₀)(2S₁δ)・・・・ギャップは2ヵ所ある
なので
　F=-dU/dδ=-(B²/μ₀)S₁
となる。Fはマイナスなので、δが大きくなる方向と逆、引力
となる。

つまり、この書籍は引力と断定しているので、全く符号のこと
を考えていない。


2.
この作業の原理は、系にかかっている力がFのとき、外力 -Fを
くわえて、つり合いを保ちつつ、dxだけ変位したときの、仕事
は dW=-Fdx であるが、この仕事は、熱が無ければ、熱力学の
第一法則により、すべて内部エネルギーの増加dUになる。つま
り、
　dU=dW=-Fdx
したがって、
　F=-dU/dx

なお、偏微分で書かれることが多いが、多変数空間の微分でな
いので無意味。


3.
参考に、コンデンサの時は、参考しているものに勘違いがある
ようなので一言。

・Q一定の時
　C=εS/x (dだと、微分と区別しにくいので)
　U=Q²/2C={Q²/(2εS)}x
　F=-dU/dx=-Q²/(2εS)=-Q²/(2Cx)・・・引力・・・①

・V=一定の時
　U=CV²/2=(εS/x)(V²/2)
　F=-dU/dx=-(V²/2)(-εS/x²)=V²C/(2x)=Q²/(2Cx)
・・・反発力

ではない。これは間違っている。

V=一定の時は、V=一定とするため、電池と電荷のやり取りを
しなければならない。つまり、外力 -Fの他に、電池のする(さ
れる)仕事を加えなければならない。

dxだけ増加したとき、電荷は dQ=d(CV) だけ変化するから
　VdQ=Vd(CV)=V²dC
の仕事を外部(電池)にするから、内部エネルギーはこの分だけ
減る。これらを合わせると内部エネルギーの変化は
　dU=d(CV²/2)-VdQ=(V²/2)dC-V²dC=-(V²/2)dC
　　　=-(V²/2)(-εs/x²)dx=(CV²/2x)dx
したがって、
　F=-dU/dx=-CV²/2x=-Q²/(2Cx)・・・・引力
となり、①と一致する。

http://www.yamamo10.jp/yamamoto/study/electromag …

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
大変助かりました。
理解することが出来ました。

ご丁寧な説明に加え参考資料まで添付して下さりありがとうございます。

お礼日時：2023/06/11 14:41