どうして放物線ですか？

天体に物体が速度をもって近づくとき、その物体の軌跡には、3種類あって、物体の速度の方向や大きさによって、双曲線か楕円か放物線になると聞いたことがあります。

双曲線というのは、物体が天体に接近したあと、どんどん離れていくということですよね。

楕円というのは、物体が天体の重力にとらわれて、天体の周回軌道にのるということですよね。

違っていたらすみません。

ところで、放物線というのは、物体が天体に落下していき、やがて、天体に衝突するような軌跡のことですか。

だとしても、本当に放物線になるのでしょうか。
放物線というのは、
y=ax^2+bx+cの形ですよね。本当に、それになりますか。

放物線というのは、地表付近で重力加速度が近似的にどこでも同じ場合だけと思っていましたが、高度によって重力が違う場合でも、放物線になるのでしょうか。しかも、力がかかる方向も(地表付近のようにいつも真下というのではなく)、刻々と変化します。そんな状態で、本当に放物線になるのでしょうか。

そもそも、3種類の軌跡になるという、もとの式があると思います。(初期条件を変えると3種類になるのだと思います。感覚的にピンとくるのは楕円だけです。双曲線も、どうしてそうなるのかわかりません)

その、もとの式はどのようなものですか。もとの式を教えてください。

そして、その式の初期条件を変えると、放物線とか、双曲線とか、楕円になることを示してください。

質問者からの補足コメント

• No.1さんに、うまく返信できないので、ここに書きます。
  
  双曲線も楕円も放物線も近似だったのですか。
  
  ちなみに、
  もとの式のたてかたは、
  x方向の運動方程式とy方向の運動方程式を立てて、その微分方程式をといて、媒介変数などを消去して、xとyでの式にするということでいいのでしょうか。
  
  (原点は天体の重心として)
  x方向の方程式
  GmM/(x^2)=m(位置xでの加速度)
  ※2階微分をうまく表記できないので、そう書きました。
  
  y方向も同様

    補足日時：2023/06/11 10:55

• 円と楕円は別物扱いですか。円は楕円のうちに含めていました。

    補足日時：2023/06/11 14:16

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/11 15:22

結論だけで良いなら

放物線か双曲線か楕円です。

微分方程式を解けば出てくる純粋に数学的な問題。
ニュートン時代から研究されてて解説はネット上に山の様に有ります。

但し、運動方程式や2次曲線の極形式の取り回し方を知らないと
理解は難しいと思う。まず、放物線、双曲線と楕円が離心率を使うと
同じ極表示になることの理解から始めないと・・・

取りあえずここで腕試しをどうぞ。
https://manabitimes.jp/math/1263

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/11 14:16

違います。

４番目? は直線です。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/06/11 12:39

物理は数学や論理学じゃ無く、経験則です。

つまり、観測結果が先に有って、それを上手く記述するのに数学が使える事が解った。って事です。

その為には、摩擦とかの抵抗を無視すれば数学で得た知識が上手く使える、ダケです。

ちなみに3種類じゃ無く4種類です（円運動も含まれる)。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/11 11:09

残念です。

4種類です。

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/06/11 10:29

物体が天体に速度を持って近づく場合、その軌跡は力学の法則に従います。

具体的には、ニュートンの万有引力の法則を用いて考えることができます。

双曲線の軌跡は、物体が天体に接近し、その後、離れていく場合を表します。これは、物体の運動エネルギーが天体の重力ポテンシャルエネルギーを上回っている場合に起こります。物体は一度接近しますが、その後は天体から遠ざかっていきます。

楕円の軌跡は、物体が天体の重力にとらわれ、天体の周りを周回する場合を表します。これは、物体の運動エネルギーが天体の重力ポテンシャルエネルギーに等しいかそれ以下の場合に起こります。物体は定常的に天体の周りを周回し、周期的な運動をします。

放物線の軌跡は、物体が天体に対して速度を持って近づき、重力の影響を受けて落下する場合を表します。これは、物体の運動エネルギーが天体の重力ポテンシャルエネルギーを下回る場合に起こります。物体は天体に向かって加速しながら落下し、放物線の軌道を描きます。

これらの軌跡は、物体の運動エネルギーや軌道速度などの初期条件によって変化します。具体的な数式で表すと複雑になるため、一般的な式をここで示すことは困難です。ただし、ニュートンの万有引力の法則や運動エネルギーの概念を用いれば、これらの軌跡が現れることが理解できます。

重要なのは、これらの軌跡が近似的に双曲線、楕円、放物線になることが分かっているということです。具体的な数式や初期条件は、物体の運動や重力場の性質によって異なるため、一般化することはできません。重力場が高度によって変化する場合や力がかかる方向が変化する場合でも、適切な初期条件下では双曲線、楕円、放物線の軌跡が現れることがあります。

もし特定の具体的な問題や式をお持ちであれば、それに基づいてより具体的な説明や計算を行うことができます。