渦巻きの式とは。

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質問者：聖鬼
質問日時：2023/06/11 08:49
回答数：7件

渦巻きの式といっても以下の具体的なことが知りたいです。

半径がRで質量がMの天体の上空、高度ｈのところで、質量mの物体が、その高度における天体の同心円の接線方向に初速v動いています。上下方向の初速は0とします。vは、物体の高度を保てずに、やがて落下してしまうほどの速度です。

感覚的には、
この物体は、渦巻きを描くように、天体に落下していくと思います。

その渦巻きの軌跡を式で表現すると、どのようになりますか。天体周回の角度をθとしたときの式でもいいし、x-y座標でもいいです。

また、落下地点はどこになりますか。
いつ、天体の表面に着地しますか。

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回答 (7件)

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No.7

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/06/12 18:54

楕円積分どころか、もっと簡単だった。

No.5 の初期条件を使って
No.6 の積分定数の値を定めると、
t = ∫{ r/√g(r) }dr,
g(r) = 2Er^2 + 2GMr - (v^2)(R+h)^2,
E = (1/2)v^2 - GM/(R+h).
と書ける。

g’(r) = 4Er + 2GM の r を被積分関数の分子へ代入すると、
t = (1/(2E))√g(r) - (GM/(2E))∫dr/√g(r) と変形できる。

∫dr/√g(r) は、 g(r) が上凸か下凸かによって
sin^-1 または tan^-1 を使って表せるので、
E が負か正かで場合分けして計算を進めればよい。

すっかり高校範囲の積分だった。

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No.6

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/06/12 05:35

いや、できるか。

r” = (A^2)/r^3 - GM/r^2 から
r’r” = { (A^2)/r^3 - GM/r^2 }r’ として、
t で積分すると
(1/2)(r’)^2 = ∫{ (A^2)/r^3 - GM/r^2 }dr
　　　　　= - (A^2/2)/r^2 + GM/r + B　(Bは定数).
変形して
dr/dt = √{ - (A^2)/r^2 + 2GM/r + 2B } だから
t = ∫dr/√{ - (A^2)/r^2 + 2GM/r + 2B }
　= ∫{ r/√(- A^2 + 2GMr + 2Br^2) }dr.
これは楕円積分で済むな。

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No.5

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/06/12 02:23

←No.2

そうなるかどうかは、v の大きさで変わるのでは？
質問には
＞ vは、物体の高度を保てずに、やがて落下してしまうほどの速度です。
の一文がある。言いたいことは伝わるような気がする。
まあ、二体問題の解は、相互に落下し続けてるとは言えるけども。

物体の初期位置と初速ベクトルを含む平面を複素数平面とみなすと、
物体の位置を x として
運動方程式は mx” = (-x/|x|)・GmM/|x|^2,
初期条件は x(0) = R+h, x’(0) = vi
に取ることができて、x = r e^(iθ) で置換すると
{ r” - r(θ’)^2 + GM/r^2 } + i { 2r’θ’ + rθ” } = 0.
実部虚部を分けて、虚部から
θ”/θ’ = -2r’/r より log(θ’) = -2 log r + C (Cは定数).
よって、θ’ = A/r^2 (Aは定数； A=e^C).
これを実部の式へ代入すると、
(r^3)r” + GMr = A^2.

これで落下の様子が解るのだが、解けるのかねこんなの。
Wolfram先生によると何だか初等関数で解析的に書けるみたいで、
なんか読むだけでも大変な式が出力されてたけど...
もう少し粘ってみようかな。

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No.4

回答者： stomachman
回答日時：2023/06/11 23:40

> 楕円だとしたら、落下するとき、ぐるぐる回らずに、天体(の上空)を一周もしないで地上に達する

　大気がないとしますと、もし落下するのならそうなりますし、落下しないんなら同じ軌道を回り続ける。どちらも軌道は同じで、ただ軌道上に障害物があるかどうかだけの違いです。高度を下げながらぐるぐる回って落下するためには、重力以外の力（空気抵抗とかロケット噴射とか）が必要。
　（全て、ニュートン力学の範囲内では、という前提です。）

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No.3

回答者： stomachman
回答日時：2023/06/11 21:10

> 古くなった人口衛星が上空での速度を失って落下する

　人工衛星が落ちる主な原因は空気抵抗です。（これについては別の質問をなさっていたんじゃ？）
　高度によって大気の密度が違うので、人工衛星がたとえ球形だとしても、とても複雑な軌道になる。微分方程式は書けても数値的にしか解けないだろうし、その数値計算をやるためにはいろんなデータが必要です。
　まずは（天文好きの中学生なら知っている）楕円軌道・放物線軌道・双曲線軌道を理解なさるのがよろしいかと思いますよ。