![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
f=x^a(1-x)^b
f≧0
は自明。
f=0 → x=0,1 ・・・・①
0<x<1 とする。
f'=ax^(a-1)・(1-x)^b+(x^a)b(1-x)^(b-1)・(-1)=0
→ ax^(a-1)・(1-x)^b=b(x^a)(1-x)^(b-1)
→ a(1-x)=bx → x=a/(a+b)
f(a/(a+b))=(a^a)(b^b)/(a+b)^(a+b)・・・・②
ここで、有界閉集合([0,1])上の連続関数fは必ず最小最大を
持つから、①により、最小は
f(0)=f(1)=0。
また、開集合((0,1))上の微分可能関数fの最大最小は極値・
停留点(f'=0)でもあるから、②が最小最大の候補。ところが
②は0より大きいから、②は最大値となる。
極値判定の微分が面倒なので別方法を使った。
(2)
f=x^a+x^(-b)
x → ∞のとき、f → ∞なので最大値は無い。
同様に
f>0
は自明。
f'=ax^(a-1)-bx^(-b-1)=0 → x=(b/a)^(1/(a+b))・・・③
ちなみに
f((b/a)^(1/(a+b)))=(b/a)^(a/(a+b))+(a/b)^(b/(a+b))
この極値の判定であるが、これ以上の微分は面倒なので
別のほうほうを考える。
x → +0, ∞で f → ∞・・・・④
である。もし、③が極大なら、このxの両側に、この値より
小さいf値がある。すると④から極値がもう2つ存在するが、
極値は③の1つだけなので、これは極小となる。
したがって、③が最小値(述べたように最大は無い)。
No.1
- 回答日時:
まず、与えられた関数の最大値や最小値を求めるために、微分を使用します。
平均値の定理は必要ありません。(1) 関数 f(x) = x^a(1-x)^b (0≦x≦1) の最大値と最小値を求めます。
まず、関数 f(x) を微分します。
f'(x) = ax^(a-1)(1-x)^b - bx^a(1-x)^(b-1)
最大値や最小値を求めるために、f'(x) = 0 を解きます。
ax^(a-1)(1-x)^b - bx^a(1-x)^(b-1) = 0
この方程式を解くことで、極値が存在する x の値を求めることができます。
ただし、解析的に解くことは難しいため、数値的な解法(ニュートン法など)を使用することが一般的です。
(2) 関数 g(x) = x^a + x^(-b) (x>0) の最大値と最小値を求めます。
同様に、関数 g(x) を微分します。
g'(x) = ax^(a-1) - bx^(-b-1)
最大値や最小値を求めるために、g'(x) = 0 を解きます。
ax^(a-1) - bx^(-b-1) = 0
同様に、解析的に解くことは難しいため、数値的な解法を使用することが一般的です。
以上の手順により、与えられた関数の最大値や最小値を求めることができます。ただし、解析的な解法が存在しない場合や数値的な解法が必要な場合もあるため、注意が必要です。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学 3次関数の最小値・最大値を求める際 その関数を微分した二次関数を平方完成し最小値を求めるやり方 3 2023/05/02 01:13
- 数学 【 数I 2次関数 最大・最小 】 問題:関数y=x²+2x+c (-2≦x≦2)の最大値 が5であ 3 2022/06/19 08:41
- 数学 数1 二次関数 関数 y=x^2-2x-1について、定義域が-1<x<2のとき、最大値最小値を求めよ 5 2023/06/06 12:00
- 数学 【 数I 2次関数の最大値・最小値 】 問題 関数y=-x²+1 (1≦x≦3)の 最大値と最小値を 2 2022/06/28 17:49
- 数学 三角関数の問題なのですが、 0≦θ<2π のとき次の関数の最大値最小値を求めよ。 y=-3cos²θ 1 2023/05/24 17:47
- 数学 三角関数の問題なのですが、 0≦θ<2π のとき次の関数の最大値最小値を求めよ。 y=sin²θ+s 3 2023/05/24 18:06
- 数学 数学 2時間数に関わる問題について教えてください。 x≧1 y≧-1 2x+y=5 であるとき、xy 7 2022/10/29 10:57
- 数学 三角関数の問題です! 5 2022/05/20 15:02
- 統計学 統計学の問題です よろしくお願いします 代表値 次の15件のデータについて,以下の問いに答えよ。 結 1 2023/01/31 18:53
- 統計学 統計学の問題です よろしくお願いします 代表値 次の15件のデータについて,以下の問いに答えよ。 結 5 2023/01/31 23:35
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
極大値・極小値 を英語で
-
数学 2時間数に関わる問題につ...
-
①とても初歩的なことなのですが...
-
なぜ、最小値がないのかが分か...
-
最大値=∞ というように無限を解...
-
x(x-1)(x-2)(x-3)の最大値と最...
-
素数(合成数の並びの最大数)...
-
二次関数の最大・最小の問題です!
-
基本情報処理 平成27年春期 ...
-
正数a、bに対し次の関数の最大...
-
停留点
-
aを正の定数とし、f(x)=x²+2(a-...
-
数学I 2次関数について 最小...
-
範囲の始まりと終わりの値の名称
-
数値データの規格化
-
マルチディスプレイ【2台】に...
-
y=-|x-2|+3のグラフで 問題 ...
-
数学のことで質問があります。
-
max,minの意味
-
高校数学、コーシーシュワルツ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
なぜ、最小値がないのかが分か...
-
極大値・極小値 を英語で
-
二項係数は2で何回割れるか
-
(2)の問題を解くときに、最初...
-
①とても初歩的なことなのですが...
-
マルチディスプレイ【2台】に...
-
2次関数の問題です。よろしく...
-
小学5年算数。階乗の関数
-
数学 2時間数に関わる問題につ...
-
箱ひげ図についての質問です。 ...
-
aを正の定数とし、f(x)=x²+2(a-...
-
数値データの規格化
-
3σと最大値,最小値
-
確率
-
範囲の始まりと終わりの値の名称
-
数学の表記の表し方で最大値と...
-
基本情報処理 平成27年春期 ...
-
max,minの意味
-
数学 二次関数についてです。 ...
-
数II:三角関数の合成です
おすすめ情報