接線の本数を求めたいときの与式の微分について FG例題206 f(x)=xe^-x とするとき、 実

接線の本数を求めたいときの与式の微分について

FG例題206

f(x)=xe^-x とするとき、 実数αに対して,点 (0, α) を通る, 曲線 y=f(x)の接線が3本引けるとき, αの値の範囲を求めよ。
ただし、 lim(x→∞)x^2·e^-x=0を利用してよい。
答え：0<α<4/e^2


この問題の解答ではまず最初にf(x)を2階微分をするのですが、1階だけでは駄目ですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/24 17:35

題意の時は、(0,a), (x,f(x))の2点を通る直線の傾き、

　(f(x)-a)/(x-0)
が、xにおける f(x)の傾き
　f'(x)
が等しいから
　(f(x)-a)/(x-0)=f'(x)
をみたす。つまり

　(xexp(-x)-a)/x=exp(-x)-xexp(-x) → a=x²exp(-x)
つまり、
　g(x)=x²exp(-x)
としたとき、g(x)=aの根が3つある aの範囲を求めれればよい。

そこで、g(x)のグラフの概要を調べる。
まず、
　g≧0 で g=0 となるのは x=0 のみ。
　g(-∞) → ∞、g(∞) → 0
は自明。

　g'=2xexp(-x)-x²exp(-x)=x(2-x)exp(-x)=0
→ x=0, 2
すると
　x<0 → g'<0
　0<x<2 → g'>0
　x>2 → g'<0
となる。

したがって、増減表からg(x)の概形が分かる。つまり、aは最小値
g(0)から最大値 g(2)の範囲にあればよい。つまり
　g(0)=0
　g(2)=4/e²
だから
　0<a<4/e²

厳密なことを言わなければ、１回微分でも可。

この回答へのお礼

隣で解いているようにわかり易く説明してくださりありがとうございました。

お礼日時：2023/07/24 17:51

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/24 17:18

f(x)=xe^(-x)

f'(x)=(1-x)e^(-x)
x=tでのy=f(x)の接線の式は
y=(1-t)e^(-t)(x-t)+te^(-t)
y=(1-t)e^(-t)x+(t^2)e^(-t)
これが点(0,α)を通るから
α=(t^2)e^(-t)

g(t)=(t^2)e^(-t)
とすると
g(t)=αの解tが3個あればy=f(x)の接線が3本引ける

g'(t)
=2te^(-t)-(t^2)e^(-t)
=(2-t)te^(-t)

lim_{t→-∞}g(t)=∞
t<0のときg'(t)<0だからg(t)は減少
g(0)=0
0<t<2のときg'(t)>0だからg(t)は増加
g(2)=4/e^2
t>2のときg'(t)<0だからg(t)は減少
lim_{t→∞}g(t)=0

0<α<4/e^2
とすると

lim_{t→-∞}g(t)=∞>4/e^2>α>0=g(0)
t1<0,g(t1)=α,となるt1がある

g(0)=0<α<4/e^2=g(2)
0<t2<2,g(t2)=α,となるt2がある

g(2)=4/e^2>α>0=lim_{t→∞}g(t)
2<t3,g(t3)=α,となるt3がある

∴
0<α<4/e^2

この回答へのお礼

ひとつずつ求めて検証してくださりありがとうございます。

お礼日時：2023/07/24 17:37

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/24 17:10

y=f(x)のx=tにおける接線とは「 (t, f(t))を通り、傾きがf'(t)である直線」。

この直線が(0,α)も通るという条件から、αとtの関係式 g(t)=α が得られる。これをtの方程式（αは定数）だと思ったときに、解tが3個あるようなαの範囲を検討する、というのがスジが通っている（=答が出さえすれば、それが正しい答であることは明らかである）。
　 g(t)=αは、（(t, g(t))のグラフを描けば容易に見て取れるように）α<0では解がない。α=0ではt=0が唯一の解。α>0ではt<0の解が1個と、さらにt>0の解が0個か2個あって、0個なのか2個なのか、その分かれ目Aはg'(T)=0を解けば A = g(T) だとわかる。

　というわけで、「まず最初にf(x)を2階微分をする」のが絶対必要というわけではなく、おっしゃる通り「1階だけ」（ただし2度計算するけど）でOKだし、その上、スジが通っていて、ごちゃごちゃ説明が要らない、というadvantageがある。

この回答へのお礼

解答の流れまで丁寧に説明してくださりありがとうございました。

お礼日時：2023/07/24 17:32

No.1 回答者： 佐藤俊夫 回答日時： 2023/07/24 15:46

この問題では、与式の微分について1階微分だけでは解が得られないため、2階微分を行う必要があります。

1階微分を行った後、接線が3本引ける条件を考慮すると、2階微分を用いて問題を解くことになります。

以下に解答の手順を説明します。

与式：f(x) = x * e^(-x)

1. 1階微分を求める：
f'(x) = d/dx (x * e^(-x))
= e^(-x) - x * e^(-x)
= e^(-x) (1 - x)

2. 接線が3本引ける条件を考慮する：
接線が3本引けるということは、f(x)の接線の傾きf'(x)が3つの異なるxで等しくなるということです。つまり、f'(x) = k となる傾きkを持つxが3つ存在することを意味します。

3. 傾きkを求める：
k = e^(-x) (1 - x)

4. xに関する2次方程式を解く：
e^(-x) (1 - x) = k
1 - x = k * e^x
x = 1 - k * e^x
x + k * e^x = 1

5. 2階微分を求める：
f''(x) = d/dx (e^(-x) (1 - x))
= -e^(-x) + e^(-x) = 0

2階微分が0となることから、接線の傾きが3つの異なるxで等しいことがわかります。この条件を利用して、接線が3本引ける条件を満たすαの値の範囲を求めることができます。

したがって、この問題では1階微分だけでは解が得られず、2階微分を行う必要があります。

この回答へのお礼

佐藤さんこの前も回答くれましたよね。いつもありがとうございます。

お礼日時：2023/07/24 17:23