写真の数学の問題です。 ３次関数では増減の向きは、３次関数のグラフの形や微分した２次関数から、考えて

写真の数学の問題です。

３次関数では増減の向きは、３次関数のグラフの形や微分した２次関数から、考えていました。

4次式では微分しても3次式で、どうやって考えればいいのでしょうか？
極地同士が隣り合う増減は極地の大きさを比較して求めれるのですが、最初と最後の増減がわかりません。

質問者からの補足コメント

• xの場合分けによって符号が決まるのは3次関数のときも成り立ちますか？
  (念のため、お願いします)

    補足日時：2023/09/02 20:57

• ごめんなさい。
  符号じゃなく増減でした。
  f(x)=ax^3+bx^2+cx+dのとき、
  f‘(x)=3ax^2+2bx+cを因数分解して、そこからxを場合分けしたら、そこから増減を求めれますか？

    補足日時：2023/09/02 21:34

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/02 21:58

例えば

f(x)=x^3-3x^2-9x+1
のとき

f'(x)=3x^2-6x-9
=3(x^2-2x-3)
=3(x+1)(x-3)

x<-1のときf'(x)>0だからf(x)は増加
-1<x<3のときf'(x)<0だからf(x)は減少
3<xのときf'(x)>0だからf(x)は増加
と
増減を求められる

この回答へのお礼

回答してくれた皆様ありがとうございました！

お礼日時：2023/09/02 22:39

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/02 21:21

その3次関数が

y'=12x(x-1)(x-3)
ならば
x<0のときy'<0
0<x<1のときy'>0
1<x<3のときy'<0
3<xのときy'>0
と符号が決まる

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 21:01

＞ xの場合分けによって符号が決まるのは3次関数のときも成り立ちますか？

そいつは、xの場合分けが
ｆ’(x) の符号がきまるような場合分けになってるかどうか次第だな。

例えば、f(x) = ３x^4 - 16x^3 + 18x^2 + 5 に対して
x≧0, x<0 で場合分けしても意味がない。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 14:32

３次関数の増減が、導関数である２次関数の正負から求められた

のと全く同様に、
4次関数の増減は、導関数である３次関数の正負から求められる。

３次関数の零点を求めるのは、２次関数のときほど簡単ではないが、
常に解くことはできるし、零点と零点の間での正負は
３次関数のグラフを考えれば判断できる。

例えば、4次関数 f(x) = ３x^4 - 16x^3 + 18x^2 + 5 であれば、
導関数が f’(x) = 12x^3 - 48x^2 + 36x なので、
f’(x) の正負は f’(x) = 12x(x-1)(x-3) と因数分解すれば解る。
y = 12x(x-1)(x-3) のグラフを考えれば、
x < 0 で f’(x) < 0,
x = 0 で f’(x) = 0,
0 < x < 1 で f’(x) > 0,
x = 1 で f’(x) = 0,
1 < x < 3 で f’(x) < 0,
x = 3 で f’(x) = 0,
3 < x で f’(x) > 0　であることが判るだろう。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/02 12:16

＞最初と最後の増減がわかりません。

一次微分は「接線の傾き」だから、一次導関数に代表的な値を代入してみれば分かるよ。

(2) では
　f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x = 4x(x - 3)^2
だから、f'(x)=0 となるのは
　x=0, 3
のとき。
これが「極大、極小」または「変曲点」になる。

x<0 のときの増減は、たとえば x=-1 を代入して
　f'(-1) = -4 - 24 -36 = -64 < 0
だから「減少」だと分かる。

同様に、3<x のときの増減は、たとえば x=5 を代入して
　f'(5) = 500 - 600 + 180 = 80 > 0
だから「増加」だと分かる。

「極大、極小」や「変曲点」が
　f'(x) = 0
で求められるという「意味」を本当に理解しているのかな？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/02 11:04

(1)

y=3x^4-16x^3+18x^2+5

y'
=12x^3-48x^2+36x
=12x(x^2-4x+3)
=12x(x-1)(x-3)

x<0 のとき　
x<0
x-1<0
x-3<0
だから
y'=12x(x-1)(x-3)=(-)*(-)*(-)=(-)<0
y'<0だからyは減少

0<x<1のとき
x>0
x-1<0
x-3<0
だから
y'=12x(x-1)(x-3)=(+)*(-)*(-)=(+)>0
y'>0だからyは増加

1<x<3のとき
x>0
x-1>0
x-3<0
だから
y'=12x(x-1)(x-3)=(+)*(+)*(-)=(-)<0
y'<0だからyは減少

3<xのとき
x>0
x-1>0
x-3>0
だから
y'=12x(x-1)(x-3)=(+)*(+)*(+)=(+)>0
y'>0だからyは増加