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No.3
- 回答日時:
f(3) = f(0) + 3 だから
f(0) > 0 のとき f(3) > 0 が成り立つ
f(3) = f(0) + 3 > 0 + 3 > 0 なので、アタリマエではあるのですが、
なんでまた f(3) = f(0) + 3 なんて式を持ち出してみたのかな?
二次方程式 f(x) = 0 が 0 と 3 の間に異なる2つの解を持つ条件は、
実数解を2つ持つ: (-1)^2 - 4・1・(k^2+2k-3) > 0,
軸が 0 と 3 の間にある: 0 < -(-2)/(2・1) < 3,
f(0) > 0 かつ f(3) > 0: k^2+2k-3 > 0, k^2+2k > 0.
これの共通部分 k を求めればよいです。
共通部分を求めるときに、 k^2+2k-3 > 0 ならば k^2+2k > 0 だから
k^2+2k > 0 のほうは気にしなくていいね... という話をしている
のだとは思いますが、そこだけ注目して文章にしている意図が判らない。
単に、連立不等式
(-1)^2 - 4・1・(k^2+2k-3) > 0,
0 < -(-2)/(2・1) < 3,
k^2+2k-3 > 0,
k^2+2k > 0.
を解けばいいだけのことなんですよ?
No.1
- 回答日時:
f(x) = x^2 - 2x + k^2 + 2k - 3
とすれば、「平方完成形」にすると
f(x) = (x - 1)^2 + k^2 + 2k - 4
ですから、
y = f(x) のグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (1, k^2 + 2k - 4)
・軸は x=1
ということが分かります。
f(x) = 0 という二次方程式の解は、この
y = f(x)
と
x軸:y=0
の交点の x 座標ということになります。
ということは、「(2) 0 と 3 の間に異なる2つの解をもつ」ということは、
「y = f(x) は、0 と 3 の間の異なる2点で x 軸と交わる」
ということになります。
「下に凸」の放物線でこうなるためには、グラフを描けばわかるとおり
f(0) > 0
f(3) > 0
であればよいですよね?
つまり、
・軸 x=1 では、y=f(x) のグラフは x 軸の下にある、つまり f(1)<0
・0<x<1 で、y=f(x) は x 軸と交わる。
・従って、x=0 では、y=f(x) のグラフは x 軸の上にある、つまり f(0)>0
・1<x<3 で、y=f(x) は x 軸と交わる。
・従って、x=3 では、y=f(x) のグラフは x 軸の上にある、つまり f(3)>0
ということ。
質問文の「f0>0のときf3>0が成り立つ」の意味が分かりませんが、
「f(x) = x^2 - 2x + k^2 + 2k - 3 として、f(0)>0 かつ f(3)>0 が成り立つ」と書いてあるのではありませんか?
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