平方完成の問題を解いていて疑問に思ったことを質問させて頂きます。

例題
－3x²+12x－7を平方完成する過程は、
まず、因数分解の公式であるa²±2ab+b²＝(a+b)²の形に変化させる必要があります。
その変化させる段階での疑問なのですが、
この例題の場合だと、
－(x²－4x)－7
が、a²±2ab+b²＝(a+b)²の形といえますが、
次の段階に進んでいくと、
－3(x²－2・2x)－7で、また次の段階は
－3(x²－2・2x+2²－2²)－7
となり、ここまて出来てやっと()内を因数分解して平方の形を作るということなのですが、
この段階で()内が、a²±2ab+b²＝(a+b)²の形になっているように見えないため、理解に苦しみます。
2abも、どう考えても見当たりませんし、b²もどう考えても見当たりません。x²しか見当たりません。
考え方が追いついていないだけだと思いますが、どう見たらa²±2ab+b²＝(a+b)²の形に見えますか?

質問者からの補足コメント

• ミスが見つかりましたので書き直します。
  例題
  －3x²+12x－7を平方完成する過程は、
  まず、因数分解の公式であるa²±2ab+b²＝(a+b)²の形に変化させる必要があります。
  その変化させる段階での疑問なのですが、
  この例題の場合、
  －3(x²－4x)－7の(x²－4x)
  が、a²±2ab+b²＝(a+b)²の形といえますが、
  次の段階に進むと、－4xを2で割り
  －3(x²－2・2x)－7、また次の段階は
  －3(x²－2・2x+2²－2²)－7
  となり、次に()内を因数分解して平方の形を作るということなのですが、
  この段階で()内が、a²±2ab+b²＝(a+b)²の形になっているように見えないため、理解に苦しみます。
  2abもb²も見当たりません。x²しか見当たりません。
  考え方が分かってないのだと思いますが、どう見たらa²±2ab+b²＝(a+b)²の形に見えますか?

    補足日時：2023/09/18 09:56

• ご回答ありがとうございます。
  ネットで見付けた説明には、このような考え方がのっていたので、私には理解出来ずに質問させて頂きましたm(_ _)m

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/09/18 09:59

• ご回答ありがとうございます。
  a=x、b=2と置き換えて考えてみたのですが、2abとb²が、どう見たらあるのかが、分からなかったです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/09/18 10:02

• ありがとうございます。
  x²-2・2x+2²
  =(x-2)²
  ⬆の-2・2xは、この2つを掛け算してますか?
  掛け算したら、確かに2abに対応しますね。
  ・てわ分けて書いてあるので、-2・2xが別々に考えるものかと思いましたが、掛け算でひとつにまとめるのだとすると、(x-2)²のx²－4xになって合いました。
  最後のb²に対応する部分で、2²についてなのですが、式を見ると－3(x²－2・2x+2²－2²)－7となっていまして、()内では、+2²－2²が、相殺され消えてしまうと考えたのですが、考え方が間違っているのでしょうか?b²に対応するためには、2²になる必要がありますが、どう見たらいいのでしょうか?

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/09/18 10:24

• ご回答ありがとうございます。
  本には、説明があり、あと、平方完成とは(x+〇)²±□の形にすることを言うとありました。
  xの係数を半分にした数を()の中に入れ、その入れた数の二乗を引く。という説明を、イメージがあまり出来ず、なんでその過程の式の形が必要か、その過程をする必要がある意味やイメージが湧かないから覚えづらいのかもしれません。
  やはり、覚えるためには、イメージ出来るようになれば、すんなりと出来るようになりますか?
  それとも、やり方を定着させるために意味が分からなくても、何回も問題を解いていくと、覚えられるものなのでしょうか?

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/09/18 18:08

• 補足を見て頂きありがとうございます。
  説明文を読ませて頂き、言われているように、(〇±□)²の形にするところで、ずっと止まったままでした。
  x^2+2bx+c=0
  であっても、無理やり(b^2-b^2)を加えて、
  x^2+2bx+c+b^2-b^2=0
  として、
  x^2+2bx+b^2+c-b^2=0
  (x+b)^2+c-b^2=0
  ⬆の説明を受けて、無理やり(b^2-b^2)を加えるということから、元の問題として与えられた式の形を展開すると、公式の右側(〇±□)²にならないので、展開した式に無理やり(b^2)を加える事で、(〇±□)²の形にし、(－b^2)を式に入れる事で、問題として与えられた式の値を壊すことなく、左右一致するということでしょうか?
  ということは、(b^2-b^2)は(〇±□)²の形にするために一時的に貸してるだけだから、無理やりという表現を使われるんですか?

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/09/19 18:10

• お読み頂きありがとうございます。
  確かに、その場で覚えてる間は出来ていても、理解していないと忘れた時には覚えた意味も虚しく悲惨ですね…｡
  (□±〇)²の形にすることが、まず理解が難しい状態だったのですが、何故+b²－b²と相殺する形にするの?一旦貸し、それを後で引く、ということ自体の意味が分かっていませんでした。
  でも、皆さんが言われている無理やりということから、本当に無理やり(□±〇)²の形にするためだけに、+b²－b²を貸して引いているのだと覚えると、徐々に理解が進んできました。
  説明を書いて頂きありがとうございます。

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/09/19 18:23

No.13 ベストアンサー 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2023/09/20 09:05

＃１２です。

補足に書かれている通りです。
b^2-b^2は当然0なので、足しても足さなくても値は変わりません。
でも、b^2がないと(x+b)^2=x^2+2bx+b^2の形が作れないので、便宜上b^2-b^2として、b^2の項を作るわけです。

※「無理やり」というのは、数学では多くの場合不必要なもの（0を足したり引いたり、１を掛けたり割ったりなど）は省いて表記することが良しとするのに、ここではあえて0なのにb^2-b^2を加えるので、「無理やり」という表現をしたまでです。

No.12 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2023/09/19 13:44

おそらく理解が難しくなっている理由は、

x^2+2bx=0
を平方完成がわからないのではと思います。
x^2+2bx=0
を平方完成させるには、
(x+b)^2=x^2+2bx+b^2
なので、
左辺に無理やり(b^2-b^2)を加えて
x^2+2bx+b^2-b^2=0
とした上で、
(x+b)^2-b^2=0
とします。

x^2+2bx+c=0
であっても、無理やり(b^2-b^2)を加えて、
x^2+2bx+c+b^2-b^2=0
として、
x^2+2bx+b^2+c-b^2=0
(x+b)^2+c-b^2=0
ということです。

No.11 回答者： AっKI 回答日時： 2023/09/19 11:52

no.8です。

　

数学とは関係ないのですが、将棋はご存じでしょうか？
藤井クンという若者が有名ですね。て、そのプロ棋士は
対局で指した自分の手と相手の手を全部覚えているのです。
私も将棋は指しますが、さすがに全部は覚えられません。
で、プロ棋士がなぜ指した手を覚えているかというと
『指した手の意味（目的）をきちんと理解しているから』
なのです。これは多くのプロ棋士が言っていることです。

数学の公式なども同じことが言えます。
「意味が分かれば覚えられます。というか、覚えようとしなくても
体に染みつきます」この状態になれば忘れにくいですし、万一
忘れても、分かっている意味から公式を導き出せもします。
それがなく、ただただ問題をこなして覚えただけのものは
覚えている間はいいですが、その期間は短いでしょう。
（この期間が長くできる、と言う人は問題をこなす方法でも
問題ありません）そして一度忘れてしまうと、思い出せません。

平方完成でも同じことです。
式変形の一つ一つの意味（なぜその変形をするのか）を
きちんと理解すること。これ、授業ではやってくれているはず
なのです。数学が苦手な人ほど、ここを軽視してしまうのです。
実にもったいない。

平方完成と言うのは（ｘ＋○）^2の形を作ることです。
この形にするために必要な式の形を無理やりに作っていくわけです。
「＋〇^2－○^2」というのがまさに「無理矢理」なのです。
＋○^2という形が必要だから無理矢理につけて、それだけだと
式の値が変わるから同じものを引く（－○^2）ということです。
で、この○の数字を明らかにするために、その前の段階で
xの係数を2・○の形にするわけです。

ま、今の説明だけでは理解できないかもしれませんので
教科書やノート、参考書（webで平方完成について載せている
ページを探してもよいでしょう）などで、勉強してみてください。

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/09/19 11:25

平方完成に使う公式は

a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2

でもよいけど、そのまま2次式の平方完成に使うには
基本的過ぎてちょっと使いにくいですね。

a を x に b を p に換えて

x^2 + 2px + p^2 = (x+p)^2

を使う方が楽。質問の問題の解き方もこっちですね。

公式を当てはめるには x^2 の項の係数を
1 になるように係数を括りだして変形してやればいい、

－3x²+12x－7 = -3(x^2 - 4x) - 7
= -3(x^2 - ２・2x + 2^2 - 2^2) - 7
= -3{(x-2)^2 - 4} - 7
= -3(x-2)^2 + 12 - 7
= -3(x-2)^2 + 5

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/18 21:49

分配法則

No.8 回答者： AっKI 回答日時： 2023/09/18 11:04

もう一度教科書の

「平方完成」
のところを勉強した方がいい。
平方完成と言うものが理解できていない。

『()内では、+2²－2²が、相殺され消えてしまうと考えた』
この一文で、平方完成が理解できていないことを物語っています。

平方完成の過程のそれぞれの式が
『何を目的にして変形しているのか』
をきちんと理解すること。
それをせず、結果の式だけ追いかけても分かるわけがないです。

No.7 回答者： heidfeld 回答日時： 2023/09/18 10:46

そうです。

例えば、2だと紛らわしいので、敢えて5にして、xも別の記号Gに変えて考えると、

G²-2•5G+5²
=(G-5)²
となるので、

-2•5Gの部分は、
2×G×(-5)
の計算をしていることになります。

最後の
+2²－2²
の部分については、その前の項を無理矢理に平方の形にしたことで、余分に出てくる数字のぶんだけ引き算して相殺しています。

例えば、元々
x²-4x
があったとして、

ここで、これを
x²+2(-2)x+(-2)²
に変えて、その後に平方の形
=(x-2)²
に持っていきたいとする。

しかしこれを一旦分解していくと、
x²-4x+4
になる。

これだと元々の
x²-4x
に+4つまり(-2)²が余分に加わっていることになる。

なので、
x²-4x = x²+2(-2)x+(-2)²
と置こうとする時、そこから(-2)²を引いておけば
式は保たれる。

よって
x²-4x = x²+2(-2)x+(-2)²-(-2)²

この回答へのお礼

ありがとうございます。分かりにくいところを、分かるまで何度もご説明頂きありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2023/09/20 12:44

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/18 10:34

＞ －3(x²－4x)－7の(x²－4x)

＞ が、a²±2ab+b²＝(a+b)²の形といえますが、

＞ どう見たらa²±2ab+b²＝(a+b)²の形に見えますか?

そら、見えんわな。
(x²-4x) を a²±2ab+b² と見るんじゃあない。
(x²-4x) は a²+2ab と見るんだ。

そう考えれば、まず x を a と見ればいいことが判り、
したがって b を -2 と見ることになる。

すると、(a+b)² = (x-2)² = x²-4x+4 になってしまうから、
(x²-4x) = (x-2)²-4 とすればよいことが判る。
よって、-3(x²-4x)-7 = -3{(x-2)²-4}-7 = -3(x-2)²+12-7.

No.5 回答者： heidfeld 回答日時： 2023/09/18 10:14

他にも、まず最初から平方の形に置いてから、それを逆算していく方法もあると思います。

-3x²+12x-7
=-3(x+a)²+bとする。

-3(x+a)²+b
=-3(x²+2ax+a²)+b
=-3x²-6ax-3a²+b

ここで
-3x²-6ax-3a²+b=-3x²+12x-7

a=-2、b=5

よって
-3x²+12x-7
=-3(x-2)²+5

No.4 回答者： heidfeld 回答日時： 2023/09/18 10:07

カッコ内の部分だけ抜き出してみると、

x²-2・2x+2²
=(x-2)²

これと
a²-2ab+b²
=(a+b)²
を対応させると、

aがx、bが-2になります。