『［無限ホテル］』

無限ホテルのパラドックスは、もう皆さんよくご存じでしょう。満室の無限ホテルに新たに客が1人または無数にやってきても、宿泊客に適切に部屋を移動してもらうことで泊めることが可能という一見、常識に反する、しかし、無限の性質からして可能というパラドックスです。これを応用した問題を考えました。新たな宿泊客ではなく、ただ部屋を空けていくという操作を繰り返すのです。つまり、宿泊客全員に一旦外に出てもらい、一斉に次の部屋に移るということを繰り返すのです。ただし、一回ごとに移動時間を半分にする。また、各部屋での滞在時間も半分にしていくという条件を付けます。具体的には、１回目は１分で移動、２回目は３０秒、３回目は１５秒というふうに。各部屋の滞在時間も、最初は１分、次は３０秒という具合に短くしていきます。忙しない話ですが、数学上は可能でしょう。
すると、空き部屋が１号室＋２号室＋３号室…というように増えていく。公比１/２の等比級数の無限和で、移動総時間が２分、各部屋の滞在時間も２分で計４分後には、無限の部屋の移動が終了し、空室も無限にできていることになる。その時点で、ホテルの部屋はどうなっているのか？という問題です。空き部屋が無限の数できていることから、全室が空室になっているのか、それとも？
これを、無理矢理ガウス記号を用いて示せば、［宿泊客が泊まっている部屋数］＝０か、無限で答えは出せないということになるのか？という疑問です。
（ここからは、非常に長くなるので読んでやってもいいという方だけお読みください）
前々回のガウス記号に関する疑問に対して、実無限を採用すると［0.999…］=1となるという指摘がありました。で、実無限か可能無限か（この場合の可能無限は実無限の可能性＝０とする狭義の可能無限とする）という選択は、どちらが正しいかということではなく、ただ、どちらを採ることにするかということでしょう。
そして、選択の基準としてあるのは、主に２つ。①無矛盾であること。少なくとも、矛盾する場合があってもうまく避けられること②発展性、応用性が広いこと。平たく言えば、数学に面白さをもたらすものであること。
実無限に本当に矛盾がないかどうかは、証明することが非常に困難でしょうが、少なくとも、現在までのところ、矛盾があってもうまく回避できているようです。多少、疑問を呈されることはあるようですが。そして、何より、②の観点から、実無限の方が可能無限より、圧倒的に発展性、応用性において、上と言える。確かに、人が計算しようがしまいが、書き出していようがいまいが、無限に数が存在するというほうが、発展性において文字通り、無限の可能性を持ちうるでしょう。
自然数をどこまで書いても有限で止めれば、その場面では自然数はそこまでしかないとするより、それ以降も（たとえ書き出していずとも）自然数は存在するとした方が…。対するに、可能無限は確かに、安定性はあるかもしれないが、微積分や恐らくは幾何学、集合論等を研究するときも、非常に制約が多く窮屈で、つまりは、つまらない。どうせ数学をやるなら、面白いほうがよいということでしょう。
実無限ならではの、疑問や時には矛盾と思われる事柄も、数学を新たに発展させるきっかけになるかもしれないし、その疑問、パラドックス的な事柄そのものが面白いということも少なくないと思います。無限ホテルのパラドックスも提示されてから１００年近くがたつと思いますが、今でも、ちょくちょく、取り上げられるのは、面白いから。
今回無限ホテルのパラドックスの応用を持ち出したのは、実無限の立場でも極限値というのは、どこまでもその値に近付くということでその値そのものになるわけではないという事情は変わらない。そこに悩ましい疑問点が付く（疑問を感じる一部の人々がいる）ことを示す一例と考えたからです。前回、前々回では、その疑問を0.999…＝１について、ガウス記号を用いることで提示したわけですが。
一度は、極限値をどこまでも近付く＝その値になってしまっているとおいて差し支えなかろうとしたのですが、再度、ここで一度立ち止まって再考してみようということです。
それで、解決というにはほど遠いのですが、取っ掛かりぐらいにはなるのでないか？という考えを提示してみます。それは、時間のカウントの仕方の違いです。今回の問題の場合、例えば、部屋の移動にかかる時間が全部で２分というのは、移動している人々にとっては、各回で半分になっていく移動時間の無限和としての極限値と言えるでしょう。つまり、どこまでも接近していくが、到達してしまう＝経過してしまうことはない時点と言える。それが到達してしまうとするのは、移動を外から観察している立場、普通に１秒１秒の時間経過が積み重なり２分が経ってしまうとする観察者の時間のカウントの仕方とゴッチャにしているから、無限の部屋の移動を終えて２分経ってしまったその時点でホテルの部屋の状態はどうなっているのか？というパラドックスとなってしまうということです。
まあ、２分という時点にどこまでも接近していくが、到達してしまうことはないというのは、物理的には非常にイメージしづらく（というより不可能か）意味不明のことでしょうし、その点だけでも、この考えは、とてもではないが解決にほど遠いことは認めるにやぶさかではありません。しかし、先に言ったように、何らかの取っ掛かりぐらいにはなるのではないでしょうか？

No.5 回答者： ASスローバラード 回答日時： 2023/09/19 12:25

数えることのできない集合という意味ならば部屋も人間も数えることはできるので、やはり問いかけが間違っているような気がします。

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/19 11:18

要所要所の改行も無く、見ずらくて長い。

これはカントールの実無限と言う思想を認めるか認めないかの問題。

現代数学はその思想の上に構築されてるけど、ガウスは実無限を認めなかった。

今も実無限を認めない集団では、「無限ホテルのパラドックス」自体を認めてません。
整数は無限個、有理数は無限個、実数も無限個、この「無限個」も認めてません。

なので、「実無限を認める立ち場にたって」と言う注釈が最初に要ります。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/18 17:53

長げぇよ。

＞ （ここからは、非常に長くなるので読んでやってもいいという方だけお読みください）
から先は読んでない。

質問は、
＞ 無理矢理ガウス記号を用いて示せば、［宿泊客が泊まっている部屋数］＝０か、
＞ 無限で答えは出せないということになるのか？という疑問です。
かな？
∞ - ∞ は「不定形」で、 =0 とは言えないって話は、高校の教科書にも書いてある。

＞ 無限の部屋の移動が終了し、空室も無限にできていることになる。

そう、それでいい。

＞ その時点で、ホテルの部屋はどうなっているのか？という問題です。
＞ 空き部屋が無限の数できていることから、全室が空室になっているのか、それとも？

全室空き室にはならん。今回の例は ∞ - ∞ = ∞ となる例だってこと。

No.2 回答者： ASスローバラード 回答日時： 2023/09/18 17:27

満室の無限という出題が間違えてますからね。

無限は満室にならないから無限なのでその後の議論は意味が無いと思います。

No.1 回答者： Mokuzo100nen 回答日時： 2023/09/18 16:32

＞公比１/２の等比級数の無限和で、、

それは、2分経つ手前で、歩幅が狭くなって、足踏み状態になって、結局2分に辿り着かない。

極限値が2分ということは、2分にならない、ということじゃないですか？


本題の方の答えは、無限の空室＋初期条件通りの客数ですよね。
まあ、そうなるというわけではなくて、その状態に近づくといことですが。