数学の確率の問題です

くじの入った箱Aと箱Bがあります。
箱Aは10点が10本、残りはすべて0点です。
箱Bは20点が5本入、残りはすべては0点です。
箱の中のくじの総数はそれぞれ1000本です。

10回くじを引く権利があります。
ただし、事前に箱Aと箱Bについて何回引くか宣言する必要があります。
また、箱Aについて一度でも当たりを引くとその後、箱Aからくじを引く権利は消滅します。箱Bについても同様です。

箱Aと箱B、それぞれ何回引くと事前に宣言するのが最も高得点を狙えますか？

質問者からの補足コメント

• 曖昧な質問文となっていたため訂正致します。
  すみません。
  
  くじの入った箱Aと箱Bがあります。
  箱Aは10点が10本、残りはすべて0点です。
  箱Bは20点が5本、残りはすべては0点です。
  箱の中のくじの総数はそれぞれ1000本です。
  
  くじを引く権利は箱Aと箱Bの合計で10回ほどがあります。
  くじを引く前に箱Aと箱Bについてそれぞれ何回引くかを宣言する必要があります。
  
  なお、箱Aについて一度でも当たりを引くとその後、箱Aからくじを引く権利は消滅します。
  箱Bについても同様です。
  
  箱Aと箱B、それぞれ何回引くと事前に宣言するのが最も高得点を狙えますか？

    補足日時：2023/09/27 09:30

• ※引いたくじは元に戻しません。
  ※あたりが出たらそれ以降、その箱ではくじを引くことができません。そのため、事前に宣言する回数の振り分けによって、得られる期待値が変動する問題です。
  その振り分けをどうするのが最も大きな期待値になるかと言うのが問題です。

    補足日時：2023/09/27 12:57

No.10 回答者： stomachman 回答日時： 2023/09/28 07:11

No.7です。

No.9のご指摘通り、問題をイロイロ読み違えてたようです。

No.9 回答者： cage64 回答日時： 2023/09/27 18:02

No.7の stomachman さんと同じだが、非復元抽出なのとpの値が0.5%らしいので、一応コメント。

箱Aからk回引く宣言した時の期待値は、k回連続して外す場合以外は10点をとって終わるので、10(1-990Pk/1000Pk)
同様に箱Bからk回引くと宣言した時の期待値は 20(1-995Pk/1000Pk)
したがって、箱Aからn回、箱Bからm回引くと宣言した時の期待値は 30-10(990Pn/1000Pn+2*995Pm/1000Pm)
n+m=10 の時は11通りの組み合わせしかないから、計算してみればいい。

990Pn/1000Pn+2*995Pm/1000Pm の値は、
n=0,m=10 2.90178...
n=1,m=9 2.90143...
n=2,m=8 2.90120...
n=3,m=7 2.90110...
n=4,m=6 2.90113...
n=5,m=5 2.90129...
n=6,m=4 2.90157...
n=7,m=3 2.90198...
n=8,m=2 2.90252...
n=9,m=1 2.90318...
n=10,m=0 2.903968..
なので、Aから3回、Bから7回と宣言するのが一番いいが、どれも大差なし。

実際、概算すれば
990Pn/1000Pn≒(990/1000)^n=(1-1/100)^n≒1-n/100
995Pm/1000Pm≒1-m/200
だから、990Pn/1000Pn+2*995Pm/1000Pm =3-(n+m)/100となり、n,mによらず、ほぼ2.9。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/27 14:39

相変わらず問題文が要領を得ないので、勝手に整理してみる。

質問者の意図と同じかどうかは知らない。

１箱にクジ1000本の入った箱Aと箱Bがある。
箱Aは10点の当たりクジが10本、残りはすべて0点。
箱Bは20点の当たりクジが5本、残りはすべては0点。

10回くじを引く権利が与えられており、
最初に箱Aと箱Bそれぞれから何回引くかを宣言して始める。
引いたクジは箱に戻さずに抽選を繰り返すが、
当たりクジをひいたら、その後はその箱からは引けない。

得点の期待値を最大にするには、どのようにクジを引いたらよいか？

----------------------------------------------------------------------------------

箱A,箱Bそれぞれの k 本目のクジの得点の期待値を計算してみると、

箱A
本目　期待値
1　　10・10/1000
2　　10・10/999
3　　10・10/998
…
k　　100/(1001-k)

箱B
本目　期待値
1　　20・5/1000
2　　20・5/999
3　　20・5/998
…
k　　100/(1001-k)

箱A の k 本目と箱B の k 本目の期待値が同じだから、
A,B,A,B,A,B,A,B,A,B でも
B,A,B,A,B,A,B,A,B,A でもいいから交互に引いてくのが
一番期待値が高い。(30点ではなくなる確率が低い。)

最初の宣言は、箱Aから5回、箱Bから5回と宣言すべき。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2023/09/27 14:22

> 最も高得点を狙

うには、箱Aと箱Bからそれぞれ1回以上ひけば良い。なぜなら「最も高得点」である30点を単に「狙う」だけなんですから、可能性が0でなければ何でも一緒。これは

> 最も大きな期待値になるか

とは全く別の話です。

> くじを引く権利は箱Aと箱Bの合計で10回ほど

「ほど」ってのはなんだろうね。たとえば

「箱Aで5回、箱Bで5回、引く」と宣言した。それから、箱Aから1回引いたらイキナリ当たりだった。なのでこれで箱Aから引く権利はなくなった。次に箱Bから1回引いたらまたしてもイキナリ当たりだった。なのでこれで箱Bから引く権利はなくなった。さて、あとの8回の<権利>はどうすんの？

ということを明示しないと問題が成立しない。
　仮にあとの8回の<権利>は単に喪失するのだとすると、結局：

STEP1: 成功確率2p (=2%)というチャレンジをn回やって、全部失敗なら0点。1度でも成功すれば10点。だからSTEP1の期待値は 10(1 - (1 - 2p)^n)点。
STEP2: 成功確率p (=1%)というチャレンジを(10 - n)回やって、全部失敗なら0点。1度でも成功すれば20点。だからSTEP2の期待値は 20(1 - (1 - p)^(10 - n))点。
さて、STEP1, 2を両方あわせた点数の期待値
　　f(n) = 10(1 - (1 - 2p)^n) + 20(1 - (1 - p)^(10 - n))
を最大にするnは？

という問題。

　nを実数だと思って、
　df/dn = 20((1 - p)^(10 - n))log(1 - p) - 10((1 - 2p)^n)log(1 - 2p)
を使って
　df/dn = 0
を書き下し、対数をとればnの一次式になる。その解は n ≒ 3.49 で、これが極大であることは容易に確かめられる。
　だからコタエは n=3か4か、どっちかな、ということで実際計算すると、
　　1.9467 ≒ f(4) ＜ f(3) ≒ 1.9468

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/27 11:27

どこかに出ていた問題ですか。

それとも あなたが 考案した問題ですか。
いづれにしても 補足を含めて 問題文が不鮮明です。
※ 引いたくじは 元に戻すの？それとも戻さないの？
※ 宣言した回数を 引けない場合もありうる と云うこと？

単純に考えれば B の方が 得点が2倍ですから、
B での得点を 狙った方がよいので A:B=1:2 程度かな。
10回では 割り切れないので 4:6 か 3:7 になるでしょう。

この回答へのお礼

私が考えた問題です。
趣味のプログラムでエラーが稀に出るのですがどちらにストレステストをどの程度するのが短時間で発見できるか気になり計算したのですが案外難しくこちらで質問してみました。
得点はに2倍ですが当たりはAの半分しかありません。
自分の中では5:5くらいが正解ではないかとなんとなく思っています。

※引いたくじは元に戻しません。
※あたりが出たらそれ以降、その箱ではくじを引くことができません。そのため、事前に宣言する回数の振り分けによって、得られる期待値が変動します。

お礼日時：2023/09/27 12:56

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/27 10:21

No.4 です。

「補足」を見ました。

相変わらず「引いたくじは戻すのか、戻さないのか」が書かれていませんね。
「戻さない」となると、計算はかなり複雑になります。

この回答へのお礼

それぞれの箱について、1度あたりが出たらそれ以降は引くことができませんので、戻す、戻さないは関係ないと思い書いていませんでした。
ただ、おみくじみたいなものだと確かに戻すタイプのくじも存在していましたね。大変失礼いたしました。
縁日やスピードくじみたいな物を想定していまして、引いたら店頭に張り出し、元には戻さないタイプのくじになります。

お礼日時：2023/09/27 12:48

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/26 20:02

引いたくじは戻すのですか？（復元抽出）

それとも引いたら箱の中のくじが減っていく？（非復元抽出）

非復元抽出だと毎回確率が変わります。

なので「復元抽出」で考えてみます。
そうすると、

・箱Ａで当たりを引く確率は 10/1000 = 1/100
　10回引いて、当たりが1回もない（0回）確率は
　　Pa0 = 10C10 * (1/100)^0 * (99/100)^10
　　　　= (99/100)^10
　つまり、10回引いて1回以上あたりを引く確率は
　　Pa = 1 - Pa0 = 1 - (99/100)^10
　このときに「10点」もらえるので、10回引く権利があるときにもらえる点数の期待値は
　　10[点] * Pa = 10[1 - (99/100)^10] = 0.956179･･･
（当たった時点でそれ以上引く権利が消滅するので、何回当たっても1回分の点数しかもらえない）

・同様に、箱Ｂで当たりを引く確率は 5/1000 = 1/200
　10回引いて、当たりが1回もない（0回）確率は
　　Pb0 = 10C10 * (1/200)^0 * (199/200)^10
　　　　= (199/200)^10
　つまり、10回引いて1回以上あたりを引く確率は
　　Pb = 1 - Pb0 = 1 - (199/200)^10
　このときに「20点」もらえるので、10回引く権利があるときにもらえる点数の期待値は
　　20[点] * Pb = 20[1 - (199/200)^10] = 0.97779739･･･


上記が、10回全部同じ箱を引いた場合です。
あとは、10回をＡとＢに割り振った回数を設定して、それぞれの期待値を計算してみればよいと思います。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/26 19:00

箱Aで991回以上、

箱Bで996回以上の適当な回数を宣言すれば、
確実に30点で最高得点になります。

この回答へのお礼

すみません。その分が曖昧な表現になっていたと思います。問題文を訂正いたしました。

お礼日時：2023/09/27 09:31

No.2 回答者： Mokuzo100nen 回答日時： 2023/09/26 18:53

箱Aでは10回

箱Bでも10回

この回答へのお礼

その分が曖昧な表現になっていたと思います。問題文を訂正いたしました。

お礼日時：2023/09/27 09:31

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/09/26 17:42

これって、

当たりの点数、何回引くか宣言する、
は関係ないでしょう。

一回でも当たれば次は引けない、
ならば、
最も高得点、と言う差もないはずです。

この回答へのお礼

その分が曖昧な表現になっていたと思います。問題文を訂正いたしました。

お礼日時：2023/09/27 09:31