写真の赤線部についてですが、なぜ積分範囲は0〜1なのに、k=1〜nとなるのですか？積分範囲が0からな

写真の赤線部についてですが、なぜ積分範囲は0〜1なのに、k=1〜nとなるのですか？積分範囲が0からなのに、k=0〜nとならないのはなぜでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 赤線部の式の、k=1をk=0に、nをn-1(つまりkの範囲を0〜n-1)と書き換えても、同じ意味になるのでしょうか？

    補足日時：2023/10/06 13:50

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/07 09:13

誤字まだまだあった。

全面書き直し：

図のように f(x) が単調増加であれば、
(1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ (1/n)Σ[k=1..n]f(x) が成り立つ。
図でも、面積の大小がそうなっているでしょう？
この式で n→∞ の極限をとると
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x)
だが、
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-１]f(x) = lim[n→∞](1/n){Σ[k=１..n]f(x) - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=１..n]f(x) + lim[n→∞](1/n){ - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=１..n]f(x) + 0
だから
lim[n→∞](1/n)Σ[k=１..n]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x)
となって、すなわち
∫f(x)dx = lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x).

∫f(x)dx = lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) も全く同様に示せる。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/07 09:11

すまん。

誤字訂正：

lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) = lim[n→∞](1/n){Σ[k=1..n]f(x) - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) + lim[n→∞](1/n){ - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) + 0
だから

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/07 09:09

＞ 赤線部の式の、k=1をk=0に、nをn-1(つまりkの範囲を0〜n-1)

＞ と書き換えても、同じ意味になるのでしょうか？

むしろ、それを考えることが、区分旧積法の根拠となる。
図のように f(x) が単調増加であれば、
(1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ (1/n)Σ[k=1..n]f(x) が成り立つ。
図でも、面積の大小がそうなっているでしょう？
この式で n→∞ の極限をとると
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x)
だが、
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) = lim[n→∞](1/n){Σ[k=0..n-1]f(x) - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) + lim[n→∞](1/n){ - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) + 0
だから
(1/n)Σ[k=１..n]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ (1/n)Σ[k=1..n]f(x)
となって、すなわち
∫f(x)dx = (1/n)Σ[k=1..n]f(x).

∫f(x)dx = (1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) も全く同様に示せる。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/06 16:59

No.4 です。

「補足」について。

＞赤線部の式の、k=1をk=0に、nをn-1(つまりkの範囲を0〜n-1)と書き換えても、同じ意味になるのでしょうか？

はい。そうです。

積分区間が A～B を n 分割して、k = 0～(n - 1) なら、長方形の短冊の面積は
・幅：(B - A)/n　（１区間の横幅）
・高さ：f(A + (B - A)k/n)　（長方形の「左側」の高さ）
で求めることになります。

つまり
k = 1～n なら
・幅：(B - A)/n　（１区間の横幅）
・高さ：f(A + (B - A)k/n)　（長方形の「右側」の高さ）

k = 0～(n - 1) なら
・幅：(B - A)/n　（１区間の横幅）
・高さ：f(A + (B - A)k/n)　（長方形の「左側」の高さ）

で各区間の短冊（長方形）の面積を表わすわけで、どちらも同じ式になっているでしょ？
そして、n → ∞ にすればどちらも同じなのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
長方形の面積がどちらも同じ式であることから、k=0〜n-1,k=1〜nのどちらを代入しても、結局n個の長方形を表すのに変わりはないから、(n→∞では)同じ意味ということですね。

お礼日時：2023/10/06 17:07

No.5 回答者： AっKI 回答日時： 2023/10/06 15:26

図をよく見て

細長い長方形は、右上の頂点が
y=f(x)のグラフと一致しているはずだ。
つまり各長方形の高さがf(k/n)なのです。
だからk=1からnまでの和になる。

k=0からn-1にしたいなら
長方形の左上の頂点をy=f(x)と一致させればよい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
長方形の縦の長さを左の辺か、右の辺どちらを基準に取るかの違いですね

お礼日時：2023/10/06 17:05

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/06 13:29

「１区分」の長方形の面積を

・幅：1/n　（１区間の横幅）
・高さ：f(k/n)　（長方形の「右側」の高さ）
で計算していることが分かりませんか？
最初の長方形の「高さ」は
　f(0/n) = f(0)
ではなくて
　f(1/n)
です。
そして、最後の（n 個めの）長方形の高さは
　f(n/n) = f(1)
です。

積分区間が A～B なら
・幅：(B - A)/n　（１区間の横幅）
・高さ：f(A + (B - A)k/n)　（長方形の「右側」の高さ）
ということになります。
最初の長方形の高さは
　f(A)
ではなく
　f(A + (B - A)/n)
です。

そういう「短冊の区切り方と、長方形の面積」にしているのです。
「区分求積法」の意味が全く分かってないみたいですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。全て長方形の高さは右側を基準にしているのですね

お礼日時：2023/10/06 13:45

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/06 13:23

「植木算」って言っても、今時の人は聞いたことないかな？

道端に等間隔で木を植えるとき、
木と木の間隔が n 個なら木の本数は n+1 本。
道の両端があるからね。
写真の柱状グラフで柱の数が n 本に対し、
柱と柱のつなぎ目の点が 0,1,2,...,n の計 n+1 個なのは
植木の話と対応している。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/06 11:23

0～1の範囲を、小さな長方形がn個並ぶように切ってるから。

だから長方形n個を足す。
1個目、2個目、3個目と数えればn個目までは1～nだよ。

積分範囲が2～3なら、k=2～nにするのかい？？
n個に分けてるんだから、1個目、2個目、3個目・・・n個目だろ？

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/10/06 11:22

０から1を無限に分けて面積を足していったものが、積分値＝実際の面積と同じになるって話です。