分数関数の積分ができません

(x-y)/(x+y)^3をx,yそれぞれで積分する方法がわかりません
助けてください

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/21 14:38

x,y それぞれで積分するんですね。

dx dy の順で行うとして、まず、dx のほうは、
∫{(x-y)/(x+y)^3}dx = ∫{(x+y)^-2 - 2y(x+y)^-3}dx
= (-1/1)(x+y)^-1 - 2y(-1/2)(x+y)^-2 + f(y)
= -x(x+y)^-2 + f(y).
f(y) は dx に関する積分定数で、y の任意の関数です。

つぎに、dy の積分も行うと、
∫∫{(x-y)/(x+y)^3}dxdy = ∫{-x(y+x)^-2 + f(y)}dy
= -x(-1/1)(y+x)^-1 + ∫f(y)dy + g(x)
= x/(x+y) + F(x) + g(x).
g(x) は dy に関する積分定数で、x の任意の関数。
F(x) = ∫f(y)dy です。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/21 11:47

No2です。

ANo2の「yで不定積分する場合」の補足です。
最終式の変形形式の追加です。

>=-x/(x+y)^2+1/(x+y) +C(x)
これを通分変形すると
=y/(x+y)^2 +C(x)
と簡単化できます。

なお、「xで不定積分の場合の積分定数C(y)」と「yで不定積分する場合積分定数C(x)」はそれぞれ任意のyの関数,任意のxの関数で、Cは一般的な記号で、関数としてC(x)とC(y)とは互いに無関係です。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/21 09:53

xで積分する不定積分する場合

∫(x-y)/(x+y)^3 dx=∫(x+y-2y)/(x+y)^3 dx
=∫(x+y)/(x+y)^3 dx-2y∫1/(x+y)^3 dx
=∫1/(x+y)^2 dx-2y∫1/(x+y)^3 dx
=-1/(x+y)+y/(x+y)^2 +C(y)
=-x/(x+y)^2 +C(y)
ここでxで積分してるので積分定数Cがyの関数となる。この積分定数がC(y)です。

xでa→bまで積分する場合
∫[a,b](x-y)/(x+y)^3 dx=∫[a,b](x+y-2y)/(x+y)^3 dx
=∫[a,b](x+y)/(x+y)^3 dx-2y∫[a,b] 1/(x+y)^3 dx
=∫[a,b] 1/(x+y)^2 dx-2y∫[a,b] 1/(x+y)^3 dx
=[-1/(x+y)][x=a,b]+y[1/(x+y)^2][x=a,b]
=1/(a+y)-1/(b+y)+y{1/(b+y)^2-1/(a+y)^2}
=(b-a)(y^2-ab)/{(y+a)^2・(y+b)^2}

yで不定積分する場合
∫(x-y)/(x+y)^3 dy=∫(2x-(x+y))/(x+y)^3 dy
=x∫2/(x+y)^3 dy-∫(x+y)/(x+y)^3 dy
=x∫2/(x+y)^3 dy+∫-1/(x+y)^2 dy
=-x/(x+y)^2+1/(x+y) +C(x)
ここでyで積分してるので積分定数Cはxの関数となる。この積分定数がC(x)です。

yでa→bまで積分する場合
∫[a,b](x-y)/(x+y)^3 dy=∫[a,b](2x-(x+y))/(x+y)^3 dy
=x∫[a,b] 2/(x+y)^3 dy+∫[a,b] -1/(x+y)^2 dy
=x[-1/(x+y)^2][y=a,b]+[1/(x+y)][y=a,b]
=x{1/(x+a)^2-1/(x+b)^2}+1/(x+b)-1/(x+a)
=(b-a)(x^2-ab)/{(x+a)^2・(x+b)^2}

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/01/21 09:28

x+y=tとおくとx=t-y、x-y=t-2y、dx=dtだから

∫(x-y)/(x+y)^3dx=∫(t-2y)/t^3dt=∫1/t^2dt-2y∫1/t^3dt
=-1/t+y/t^2+C=(y-t)/t^2+C=-x/(x+y)^2+C(積分定数)
同じくy=t-x、x-y=2x-t、dy=dtだから
∫(x-y)/(x+y)^3dy=∫(2x-t)/t^3dt=2x∫1/t^3dt-∫1/t^2dt
=-x/t^2+1/t+D=(t-x)/t^2+D=y/(x+y)^2+D(積分定数)