数学 ベクトルと図形

写真は問題と解答です。

解答には「4点O,A,B,Cは同じ平面上にないから......」という部分がありますが、なぜこのようなことを書く必要があるのですか？また、今回の問題ではあり得ませんが、もし同じ平面上にあるとしたらその後の計算をしてはいけないのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 解答

  
    補足日時：2023/10/15 18:10

• 解答(続き)

  
    補足日時：2023/10/15 18:11

• すみません、写真ありで質問したため審査が始まってしまい「補足」に写真を載せられませんでした。
  
  今、載せたので、審査が終わり次第、「解答」の写真が見られるようになると思います。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/10/15 18:13

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/20 11:57

簡単に言えば　記載がなければ

k/4 =1-s-t
k/6=s
k/3=t
と　係数比較できないからという意味で　難しく言えば　一次独立だから
という意味ですので 必要です。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/19 11:17

同じ平面上に無いなら a, b, c は一次独立だから

任意のベクトルxは x = c1・a + c2・b + c3・c (c1、c2、c3は実数)
であらわせ、c1, c2, c3 はxに対し一意に定まります。

同じ平面上に無いなら　a, b, c は一次従属だから
上に書いたことは成り立たなくなります。
c1, c2, c3 は一意に定まりません。
ちょっとめんどくさくなります。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/15 20:20

No.1 です。

補足を見ました。

要するに
「4点O,A,B,Cは同じ平面上にないから、→a, →b, →c は一次独立である」
ということです。

一次独立とは
　A→a + B→b + C→c = 0　　　(i)
であれば
　A = B = C = 0
であるということ。

同一平面上にあれば、適当な 0 でない A, B, C に対して(i)が成り立ちえます。（これを「一次従属」と呼ぶ）

教科書に載っていると思いますが、必要であればこんなサイトを参照ください。
↓
https://manabitimes.jp/math/1193
https://science-log.com/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%8 …


お示しの問題の場合には、
　① = ②
とおいた式から両辺をまとめて(i)の形にすれば、それが成り立つのは「各係数が 0 のとき」である、ということを言っています。

もちろん、→a, →b, →c は四面体の頂点と底面の３つの角が作るベクトルなので「同一平面上にない」ことは分かっていますが、「各係数 = 0」となる理由として「一次独立だから」という再確認の意味でそう書いているのでしょう。学習者に対する著者の親切心だと思います。
それが逆に学習者に疑問を抱かせているとすれば著者の望むところではないでしょう。そう書けば「ああ、そうだよね」と納得してもらえるものと期待して書いているのだと思います。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/15 19:59

(1/4)k=1-s-t

(1/6)k=s
(1/3)k=t
となる理由を書く必要がある
もし同じ平面上にあるとしたら
↑a,↑b,↑cが線形従属となって
(1/4)k=1-s-t
(1/6)k=s
(1/3)k=t
が成り立たない

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/15 18:03

＞解答には「4点O,A,B,Cは同じ平面上にないから......」という部分がありますが、なぜこのようなことを書く必要があるのですか？

その次に、どのようなことを述べるためにそう書いているのですか？
それを書かずに「いるのかいらないのか？　なぜ必要なのか？」と聞かれても答えようがありません。
どのような論理展開の中での記述なのかによります。

＞もし同じ平面上にあるとしたら

四面体の４角でそれはあり得ないでしょう。