指数関数と対数関数 合成関数

いつもありがとうございます。

次のような問題があります。
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f(x)=e^x , g(x)=logx　とする

(1)f(g(x))を求めよ
　　e^logx=x (x>0)

(2)g(f(x))を求めよ
　　loge^x=x
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※ (1)(2)とも、最終的な結果は, x となります。ただ、(1)のみ x>0が付くようですが、これはなぜでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/12 11:04

f(x), g(x) は実関数で...って話ですよね？

f(g(x)) の定義域は、g(x) の定義域の部分集合で
g(x) の値域が f(y) の定義域に含まれるようなもの
になります。そうでないと、 z = f(y) ただし y = g(x)
の値を考えようとするとき、 y が定義されなかったり
z が定義されなかったりしてしまうから。
それを踏まえて...

(1)
f(y) が全実数 y に対して定義されるので、
f(g(x)) は g(x) の定義域全域で定義されます。
つまり x>0 です。

(2)
y = f(x) は全実数 x に対して定義され、
値域が y>0 で g(y) の定義域に含まれます。
よって、g(f(x)) は全実数に対して定義されます。

この回答へのお礼

詳しい解説、ありがとうございます。

お礼日時：2023/11/14 20:51

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/12 21:43

x=1の場合と、x=-1の場合を実際にやってみれば、スグわかると思いますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。スグに理解しました。

お礼日時：2023/11/14 20:51