4行目でシグマの計算が1・(3n-1乗-1/3-1)になるのはどうしてですか

4行目でシグマの計算が1・(3n-1乗-1/3-1)になるのはどうしてですか

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/26 20:49

S = Σ[k=1...n-1] 3^(k-1) と置いて、両辺を 3 倍すると

3S = 3Σ[k=1...n-1] 3^(k-1) = Σ[k=1...n-1] 3^ｋ = Σ[k=2...n] 3^(k-1) です。
この式と冒頭の式を引き算すると、
左辺 = 3S - S = (3 - 1)S,
右辺 = Σ[k=2...n] 3^(k-1) - Σ[k=1...n-1] 3^(k-1)
　　= { Σ[k=2...n-1] 3^(k-1) + 3^n } - { 3^0 + Σ[k=2...n-1] 3^(k-1) }
　　= 3^n - 3^0
になりますから、 S = (3^n - 1)/(3 - 1) です。