円の方程式について教えてください。 ３点１＋２ｉ、３−ｉ、−１−２ｉを通る方程式というのは、 （ｚｚ

円の方程式について教えてください。

３点１＋２ｉ、３−ｉ、−１−２ｉを通る方程式というのは、
（ｚｚバー）−（ａバーｚ）−（ａｚバー）＋ｃ＝０
にあてはめていけばいいのでしょうか？

申し訳ないのですが、計算過程を教えていただければと思います。

よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/27 17:11

その方法でよい

円の中心はa
円の半径r
は
r=√(|a|^2-c)

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/29 10:02

> あてはめていけばいいのでしょうか？

合ってます。自信がないのは、多分、全体が見通せていないからでしょう。

[1] xの共役複素数をx*と書くことにすると、正の実数Cについて
　　|z - a|² = C
が円の方程式。
　　|z - a|² = (z - a)(z - a)* = (z - a)(z* - a*)
　　　　　　= zz* - az* - a*z = |z|² - (az* + a*z)
だから、この方程式は
　　|z|² - (az* + a*z) = C
とも表せる。さらに、xの実部をRe(x)と書くことにすると、
　　(az* + a*z) = 2Re(az*) = 2Re(a*z)
なので結局、円の方程式は
　　2Re(a*z) + C = |z|²
とも書ける。

[2] 3つ与えられている点をz[1], z[2], z[3]として、実数P[n], Q[n], A, Bを
　　z[n] = P[n] + i Q[n] (n=1,2,3)
　　a = A + i B
とすれば
　　Re(a*z[n]) = P[n]A + Q[n]B
だから、[1]の方程式は
　　2P[n]A + 2Q[n]B + C = P[n]² + Q[n]² (n=1,2,3)
であり、これは実数の未知数A, B, Cに関する実数係数の連立一次方程式。
　で、これを解けという話。もちろん、行列を使って解いてもいいし、ツルカメ算でもいい。

…という、問題の全体を理解した上で、さて、具体的にP[n], Q[n]に値を入れて計算してみれば良いですね。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/27 09:12

そのやり方でよいです。

ｚ(ｚバー）- bｚ - a(ｚバー） + ｃ = 0 に 3個の z を代入して
3元３連立一次方程式として普通に解くと、
自動的に b = (aバー) で c は実数であるような解が得られますから、←[＊]
特別な工夫は必要ありません。

[＊]が成り立つことは、z を文字にしたまま
この式から bバー と cバー を計算してみれば、確認できます。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/27 08:59

>p、q、rの3元連立方程式 3本になります。

p、q、cで解いた方が楽でしょうね。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/27 08:14

中心をz0、半径をrとすると

|z-(p+qi)|=r →{z-z0}{conj(z)-conj(z0)}=r^2
→|z|^2+|z0|^2-z・conj(z0)-conj(z)z0=r^2

なので、|z0|^2-r^2=c, a=z0
なら方程式は合ってます。
つまりaは複素数で未知数は2個
a=p+qi
cは実数で未知数は一個
として3点を代入すれば
p、q、rの3元連立方程式 3本になります。
それを解けばおしまい。