この問題で解説では法線ベクトルをそれぞれn(a.b.c)とおきそれがAB AC共に垂直になると言って

この問題で解説では法線ベクトルをそれぞれn(a.b.c)とおきそれがAB AC共に垂直になると言っているのですが、位置ベクトルP(a.b.c)とおいてPAがAB.AC共に垂直であれば良いみたいに解くことは不可能なのでしょうか？ときずらい理由やなぜ解けないのか教えてください。

No.10 回答者： sc348253 回答日時： 2023/12/04 12:50

https://todai-counseling.com/?p=656
2つのベクトルAB,AC から外積からなる大きさがABとACの積からなる法線ベクトルと求める平面の方程式からなるベクトルの内積は0であることから
点Aを通れば求められる　具体的には
ベクトルAB,ACから法線ベクトルを求め, A点から定数項dより求まる
尚　フレーミングの法則から電気と磁界より力の方向と大きさを求め
モーターや台風の勢力などがわかり　私達の見えない部分でサポート
されている。
これを高校生のレベルにしたものが今回の趣旨かと思います。
そこで
位置ベクトルからと言うことですが　法線ベクトルと異なるわけですが
実際には　法線ベクトルも含めて範囲が多くなるので大変になるから！

ですから　この平面に位置ベクトルのなかで　垂直なベクトルに限定
した方が簡単でわかりやすいと言えます。

No.9 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2023/12/04 12:24

ベクトルは大きさと方向を持つものです。

位置ベクトルは始点を原点などと一つに限定していますが、ベクトルには始点が決まっていません。したがってベクトルには大きさが等しく平行なすべてのベクトルが含まれています。平面を定める法線ベクトルは直交性を確めるための計算を使って求めますが、その対象となるベクトルはこのようなもので、始点を固定した位置ベクトルではありません。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/04 10:01

補足

平面の法線ベクトル を n とし、
位置ベクトル P = n と置くと
PA と AB, AC は一般に垂直じゃないです。
平面上の任意の線分が法線ベクトルと垂直なので
n と AB, AC が垂直。

PA と AB, ACが垂直
と
n と AB, AC が垂直

は全然違います。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/02 22:47

法線ベクトルを位置べク卜ルとするのは変だけど、方針としては悪く無い。

n=(a、b、c) として
ベクトルAB・n=0
ベクトルAC・n=0
でnを求めることはできます。

(1、2、-2)・(a、b、c)=a+2b-2c=0
(1、4、0)・(a、b、c)=a+4b=0
→a=-4b、c=-b

法線ベクトルはサイズはどうでも良いので、b=1とすると
n=(-4、1、-1)

平面上の点の座標を(x,y,z) 、平面に含まれる一点をr0=(x0,y0,z0)
とすると
(r-r0)・n=0
これは
ax+by+cz+d=0
の形になるので(d=-r0・n)
r0=Aでは
(-4)・1+1・(-1)+(-1)・1+d=0
d=6

-4x+y-z+6=0

と求まります。

個人的には外積を使うのが好み。
n=べクトルAB×ベクトルAC=(8、-2、2)
ax+by+cz+d=0 にnとAを入れて
8・1+(-2)(-1)+2・1+d=0
d=-12

8x-2y+2z-12=0

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/02 22:28

確認ですけど

要は、Aに

求める平面に垂直なポールを立てて

その先端をPにしようということでしょうか？

ならば、それでも行けると思いますが、

先ほど回答したとおり

法線ベクトルｎを使用するのに比べて

記述の分量が多くなると思いますよ…

(ちなみに、外積を知っているなら

外積で法線ベクトルを求めるのが楽ですよ…

高校では習いませんが…)
あなたの意図と違う場合はごめんなさい

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/02 21:52

3点A(1,-1,1),B(2,1,-1),C(2,3,1)を通る平面の方程式を

ax+by+cz=d
とすると
(a,b,c)は法線ベクトルになるのです

a-b+c=d
2a+b-c=d
2a+3b+c=d
3a=2d
a+4b=0
a=-4b
3a=-12b
2d=-12b
d=-6b
-4b-b+c=-6b
c=-b
-4bx+by-bz=-6b
4bx-by+bz=6b
b(4x-y+z)=6b
4x-y+z=6

(a,b,c)=(4,-1,1)は法線ベクトルになるのです

だけれども
P=(a,b,c)=(4,-1,1)
とおくと
PA=A(1,-1,1)-P(4,-1,1)=(-3,0,0)
は法線ベクトルではないので
PAはABにもACにも垂直ではありません

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/12/02 19:38

法線を持ち出さなくたって解けますね。

しかし垂直かどうかを考えるのはマトハズレなのでは？
　問題の平面について、その平面上の点をP = (x, y, z)とすると、実数s, tを使って
　　P - A = s (B - A) + t (C - A)
と表せる。（これが、平面のパラメータ表示です。）
　さて、この式を成分ごとに書けば3本の式になりますんで、これらを連立方程式だと思ってs, tを消去すると、Pの各成分（すなわち x, y, z）を含む1本の式が残る。それがコタエです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/02 18:26

「何を」点 P と置いたのでしょうか？

平面 ABC 上の点を P(x,y,z) と置いたのであれば、
AP⊥AB, AP⊥AC にはなりません。

AP⊥AB, AP⊥AC を立式して整理すると、現れる式は
点A を通り平面 ABC に垂直な直線の方程式になります。

そうではなくて、そのような P の中の一つを採用して
AP を平面の法線ベクトルとするのならばokですが。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/02 18:03

あ、こういうことかな？

区別をつけるため
ｎ(a、ｂ、c)
P(s、t、u)とします
AP(s-1、t+1、u-1)だけれども
欲しいのは結局、法線ベクトルの成分だから
成分(s、t、u)の値は本来いらない
(まあ、計算してs、t、uの値を求めてもよいが
s、t、uのうち一文字残る
P(-4t-3、t+1、t)みたいな感じで…　ただしこの成分は適当に書きました)
本線は、Pの各成分に(-1、+1、-1)を加えたものが欲しいのだから
s-1＝a、t+1＝ｂ、u-1＝c
と置くのと変わらない
だとすれば
結局はじめからｎ(a、ｂ、c)と置いたほうが
計算も楽で
記述も少なく
スッキリしていませんか…

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/02 16:02

まず、Pは動点として

P(x、y、z)としたい
次に、Pが平面上になければ
x、y、zの関係式を求めても
それは平面のものでないので
Pは平面上のものとしなければ意味がない
そこで、Pは平面上の任意の点とする
ABCは同一直線上にはないから(同一直線上の3点では平面が定まらない)
APがABに垂直ならAPはACとは垂直にはならない
その反対も然り
すなわち、APがAB、ACの両方に垂直と言う事は起きないのです