No.1
- 回答日時:
f(x) = Σ[n=1,∞] (n^2)(x^n + x^-n)/√(n!) の収束性ですね。
まずは、 g(x) = Σ[n=1,∞] (n^2)(x^n)/√(n!) の収束性を考えてみましょう。
ダランベールの判定法によって、
g(x) の収束半径は lim[n→∞] { (n^2)/√(n!) }/{ ( (n+1)^2 )/√( (n+1)! ) }
= lim[n→∞] { √(n+1) }/{ (1 + 1/n)^2 } = +∞ です。
ということは、x ≠ 0 において f(x) = g(x) + g(1/x) も収束します。
No.2
- 回答日時:
あれ? 違う質問に答えてた。
あの質問はどうなったんだろう?
今回の質問については...
0 < x < 1 のとき、
nx/{ 1 + (n^2)(x^2) } > nx/{ 1 + (n^2)(0^2) }
= nx.
x > 0 のとき Σ[n=1,∞] nx は +∞ 発散しますから、
劣級数発散定理より、問題の級数は発散します。
優級数収束定理と劣級数発散定理を合わせて、広義的に
優級数定理って言ってしまう場合もありますが、そういうのってどうなんでしょう...
解答ありがとうございます。確かに、級数の収束、発散の時に応じて優級数定理の言い方は変えるべきですね。あと、一つ気になったのですが、0<x<1のとき、nx/{ 1 + (n^2)(x^2) } >nxは本当に言えるでしょうか。不等号の向きが逆な気がします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
あ、間違えた。
0 < x < 1 のとき
nx/{ 1 + (n^2)(x^2) } < nx/{ 1 + (n^2)(0^2) }
でしたね。これはいかん。
0 < x < 1 のとき
Σ[n=1,∞] nx/{ 1 + (n^2)(x^2) } > Σ[n=1,∞] nx/{ 1 + (n^2)(1^2) }
= x Σ[n=1,∞] n/(1 + n^2),
Σ[n=1,∞] n/(1 + n^2) > Σ[n=1,∞] n/(n + n^2)
= Σ[n=1,∞] 1/(1 + n).
よって劣級数発散定理より、問題の級数は発散します。
Σ[n=1,∞] 1/(1 + n) は、有名は調和級数だけど、
これも証明が必要かな?
2^(k-1) < n+1 ≦ 2^k のとき
1/(1 + n) ≧ 1/2^k が成り立つので、
N ≧ 2^m のとき
Σ[n=1,N] 1/(1 + n) > Σ[n=1,2^m-1] 1/(1 + n)
= Σ[k=1,m] Σ[n=2^(k-1),2^k-1] 1/(1 + n)
≧ Σ[k=1,m] Σ[n=2^(k-1),2^k-1] 1/2^k
= Σ[k=1,m] (1/2^k) Σ[n=2^(k-1),2^k-1] 1
= Σ[k=1,m] (1/2^k) { (2^k-1) - 2^(k-1) + 1 }
= Σ[k=1,m] 1/2
= (1/2)m.
ここで m→∞ とすると、N→∞なので
劣級数発散定理より、Σ[n=1,∞] 1/(1 + n) は +∞ 発散。
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