数学の確率について教えて頂きたいです。

ある病気の検査試薬は、病気にかかっている場合に正しく陽性と判断する確率が80%，病気にかかっていない場合に正しく陰性と判断する確率が90%である。全体の10%がこの病気にかかっている集団から1つの個体を取り出すとき、次の確率を求めよ。
問1 病気にかかっている場合に誤って陰性と判断する確率。
問2 病気にかかっていない場合に誤って陽性と判断する確率。
問3 検査結果が陽性である確率
問4 検査結果が陽性だったときに、実際に病気にかかっている確率

問1について、正しく陰性と判断する確率が90%なのでその逆が正しく判断できない陰性だと思い1-90/100をしたのですが解答が違いました。問2も同様に違いました。
解き方、考え方を教えて頂きたいです。

解答↓
問1) 1/5 問2) 1/10

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/02/03 01:12

問４はベイズの問題ですね。

２つの条件付き確率が提示されていますが、他の条件付き確率はその排他として求められます。
P(陽性|真陽性)＝0.80
P(陰性|真陽性)＝１－P(陽性|真陽性)＝0.20
P(陰性|真陰性)＝0.90
P(陽性|真陰性)＝１－P(陰性|真陰性)＝0.10

ご質問者の求める「考え方」とは、条件付き確率の「条件」の部分（｜の右側）が共通の部分に注目せよ、ということです。

さて、ベイズの公式は、
事後確率Ｐ(事象ｉ｜観測)
＝Ｐ(事象ｉ)・Ｐ(観測｜事象ｉ)／(分母は分子の総和)

表１（陰性と観測される場合）
事象＿事前確率＿陰性と判断する条件付確率＿積＿＿事後確率
真陽性＿0.10＿＿P(陰性|真陽性)＝0.20＿＿0.02＿＿0.024
真陰性＿0.90＿＿P(陰性|真陰性)＝0.90＿＿0.81＿＿0.976
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿総和＿0.83

表２（陽性と観測される場合）
事象＿事前確率＿陽性と判断する条件付確率＿積＿＿事後確率
真陽性＿0.10＿＿P(陽性|真陽性)＝0.80＿＿0.08＿＿0.47
真陰性＿0.90＿＿P(陽性|真陰性)＝0.10＿＿0.09＿＿0.53
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿総和＿0.17

問１
真陽性者が陰性と観測される確率は、
P(陰性|真陽性)＝１－P(陽性|真陽性)＝0.20

問２
真陰性者が陽性と観測される確率は、
P(陽性|真陰性)＝１－P(陰性|真陰性)＝0.10

問３
検査結果が陽性と観測される確率は上の２つ目の表の総和＝17％

問４
検査結果が陽性のときの陽性者はＰ(真陽性｜陽性と観測)＝47％
これは２つ目の表の事後確率の１番目です。
ベイズの公式は、このカッコ内が逆転したP(陽性と観測｜真陽性)が既知で、ここから上記の事後確率を算出する式です。

タイタニック号で、生存者中の女性の確率から、女性が生き残れる確率を求めよ、と言われたらベイズの公式を使います。
P(女性｜生存)からP(生存｜女性)を求めるということです。

ところで、No.3、yhr2さんも述べられているように・・・、
コロナの初期の頃、朝のワイドショーで玉川とかいうヤツが、国民全員PCR検査をやるべきだとか言っていましたが、そんなことをやったら病院は偽陽性者で溢れかえり大混乱となったでしょう。
なお、この問題は医師の国家試験に出るほど、有名な問題です。

発熱など症状が出ている人だけ検査する方針は実に正しいものであったと言えます。

一方、日米BSE問題（狂牛病問題）の時は、日本は「全頭検査」を要求していたんですが、アメリカの交渉団には３人の数学者が同席し（全員ベイジアン）、「もし、その牛がBSEだという検査結果が出ても、BSEである確率は極めて低い」（有名な「難病の罹患率問題」と同じ）と主張され、月齢20か月以下の牛はなんと「無検査」で輸入再開することになったのは有名な話です。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/02 19:58

「陽性」とか「陰性」という言葉に引っかからずに、「何を言っているのか、何を意味しているのか」という「文章の表わす意味」をしっかり読み取りましょう。

「全体の10%がこの病気にかかっている集団」なので、全部で 1000人とすれば

(A) 病気である人が100人いて
・(A-1) 病気だと正しく判定される人（真陽性）：80人
・(A-2) 病気ではないと誤判断される人（偽陰性）：20人

(B) 病気でない人が900人いて
・(B-1) 病気だと誤判断される人（偽陽性）：90人
・(B-2) 病気ではないと正しく判断される人（真陰性）：810人

ということですよ？

問1：正しく問題文を読みましょう。
「病気にかかっている場合に」なのだから、[A] の話だよ。

問2：これも正しく問題文を読みましょう。
「病気にかかっていない場合に」なのだから、[B] の話だよ。

ついでに書いておけば、

問3：全体1000人のうち、「病気だ（陽性）」と判断されるのは
　(A-1) と B-1) の計170人
つまり
　170/1000 = 0.17

問4：「陽性」とされた 170人のうち、真陽性は (A-1) の80人なので
　80/170 ≒ 0.47
けっこう低いでしょ？
この場合には、「陽性」の半数以上が「実は病気ではない」ということです。

コロナのときにも、検査結果の信用性が問題になりましたよね。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/02 18:03

> 問1について、正しく陰性と判断する確率が90%なので

問1は「病気にかかっている場合」の話だから、「病気にかかっている場合に正しく陽性と判断する確率が80%」という所を見なくっちゃ。これは「病気にかかっている場合に陰性と判断する確率が20%」ってことですね。

> 問2も同様に

同様に、問2は「病気にかかっていない場合」の話だから、「病気にかかっていない場合に正しく陰性と判断する確率が90%」という所を見なくっちゃ。これは「病気にかかっていない場合に陽性と判断する確率が10%」ってことですね。

「全部で10000人が検査を受けた」と思って
　　● 病気にかかっている人は何人？
　　● 病気にかかっていて、かつ、陽性になったのは何人？
　　● 病気にかかっていて、かつ、陰性になったのは何人？
　　● 病気にかかっていない人は何人？
　　● 病気にかかっていなくて、かつ、陽性になったのは何人？
　　● 病気にかかっていなくて、かつ、陰性になったのは何人？
をそれぞれ計算してみれば、
　　● 陽性になったのは何人？(問3)
　　● 陽性になった人のうちで、病気にかかっていて、かつ、陽性になった人は、何人？(問4)
も簡単にわかるでしょう。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/02/02 17:41

問1、問2

前文にある通りの確率になります。

問3
陽性者は、
陽性判断確率80%と陰性からの陽性誤検出確率10%の和になります。