漸化式について、 例えば a[1]=-1/4 a[n+1]=a[n]^2-4 のnにn=2nを代入出

漸化式について、
例えば
a[1]=-1/4 a[n+1]=a[n]^2-4
のnにn=2nを代入出来ない(代入した時に成り立たない)理由を教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• n=2nで成り立たないが、n=2k(kは任意の自然数)では成り立つ理由も対比して説明して欲しいです。

    補足日時：2024/02/09 19:26

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/09 20:17

n=2nは成り立たないけれども

nを2nに置き換えることはできる

a[n+1]=a[n]^2-4

↓nを2nに置き換えると

a[2n+1]=a[2n]^2-4

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かに置き換えるという表現が適切ですね。
nを2nで置き換えれる式がある一方で、
a[n]=(1/2)^n+3
などのa[n]とa[n+1]の関係式は、n→2nに置き換えれないと捉えたら納得できます。

代入に囚われてたらいつまでも気づけなかったと思います。

お礼日時：2024/02/09 20:38

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/09 21:18

「出来ない」とか「成り立つ」がどういう意味なのか、というところがポイントだろうと思いますね。

[1] 列aが
　　a[1]=-1/4
　　a[n+1]=a[n]^2-4
という漸化式で定義されているとき、列aの最初の3つを計算してみると
　　a[1] = -1/4, a[2] =-63/16, a[3] = 2945/256, ....
です。

[2] ここに出てきた
　　a[n+1]=a[n]^2-4
という等式について、（n=2nなんてものを「代入する」ということは意味をなさないけれども）"n"を"2n"（あるいは"2k"）で置き換えることは「出来」て、
　　a[2n+1]=a[2n]^2-4
となります。そして、この等式は真です。すなわち、この等式は「成り立」っています。

[3] しかし、列aを
　　a[1]=-1/4
　　a[2n+1]=a[2n]^2-4
によって定義することはできません。実際、たとえばa[2]やa[3]をどうやって計算しますか？
　つまり、漸化式で書かれた定義[1]の"n"を"2n"に置き換えたものは、aの定義としては「成立」しません。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/09 21:02

それ、もう No.2 に書いたじゃん。

何なの？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/09 20:16

漸化式 a[n+1] = a[n]^2 - 4 とは、

∀n∈自然数, a[n+1] = a[n]^2 - 4 が成り立つという意味です。
n は ∀n で束縛された変数ですから、スコープ内で一貫していれば
変数名を変更することが可能です。
∀n∈自然数, a[n+1] = a[n]^2 - 4 と
∀x∈自然数, a[x+1] = a[x]^2 - 4 は同一の漸化式です。
この x を 2n で置換しようが、2k で置換しようが、同じことです。
∀n∈自然数, a[2n+1] = a[2n]^2 - 4 は成り立ちます。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/09 19:42

n=2n と仮定すると

↓両辺からnを引くと
n-n=2n-n
↓n-n=0,2n-n=nだから
0=n
となってnが自然数であることに矛盾するから
n≠2n

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
たしかに数式的にn=2nは矛盾ですね。
具体的なイメージも掴みたいので、
a[n+1]=a[n]+constが成り立つ時、

a[2n+1]=a[2n]+const(式1)と考えることに具体的にどのような矛盾があるのかを教えてくれると嬉しいです。
また、(式1)と
a[2k+1]=a[2k]+const (kは自然数) にどのような違いがあるのかも教えて欲しいです。

お礼日時：2024/02/09 19:54