確率と漸化式の問題で……

こんにちは。

題名通り漸化式の問題について質問です。

「ある地方では雨が降った日の翌日に雨が降る確率は６０％、雨が降らなかった日の翌日に雨が降る確率は３０％であるという。今日雨が降っている時、ｎ日後も雨が降る確率Ｐｎを求めよ」

という問題なのですが、どこで漸化式を持ち出して、どのようにつくればいいのかが分かりません。

今日は雨が降っているのだから、明日降る確率は６０％、降らない確率は４０％ですよね。
降った場合と降らなかった場合……で場合分けをするのでしょうか？

解説をお願いします。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： paddler 回答日時： 2005/05/08 16:01

> どこで漸化式を持ち出して、どのようにつくればいいのかが分かりません。

「漸化式」というのは平たく言えば、”ｎ番目の状態をｎ-1番目（またはそれ以前）の状態を使って表す式”ということですよね。

この問題の場合は、

　ｎ番目の状態＝「雨」である

ですね。この確率をＰｎと書くんですね。さてｎ-1番目の状態はというと、当たり前ですが、前日は「雨」か「雨でない」かのどちらかしかありません。このうち、ｎ-1番目が「雨」の確率は、Ｐn-1ですね。じゃ”ｎ-1番目が「雨でない」”はというと、「雨」の状態と「雨でない」状態以外の状態はありませんから、この２つで全てなので、確率を足すと１です。だから、”ｎ-1番目が「雨でない」”確率は、１－Ｐn-1となります。「雨」の次の日が「雨」になるのが６０％で、「雨でない」次の日が「雨」になるのが３０％ですから、結局Ｐｎは次のように表すことができます。

　　Ｐｎ＝0.6×Ｐn-1＋0.3×（1－Ｐn-1）

後は、この式のｎをさかのぼっていって、今日がが雨、つまりＰ0＝１（0日後、すまわち今日が雨である確率はもう既に雨だと分かっているので１００％）を使えるところまで戻れば解けるんじゃないでしょうか。

この回答へのお礼

お礼が大変遅くなり、誠に申し訳ありません。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/06/12 19:47

No.4 回答者： BO-BO-keshi 回答日時： 2005/05/08 16:04

Ｎｏ．２です。

少し遅かったみたいですね～
それと、数字を間違えました（笑）すみません。

No.3 回答者： shkwta 回答日時： 2005/05/08 16:03

(1) n日後に雨が降る確率をpとすると、n日後に雨が降らない確率は 1-p です。

(2) n日後に雨が降ってn+1日後に雨が降る確率は、0.6 p
(3) n日後に雨が降らなくてn+1日後に雨が降る確率は 0.3(1-p)
(4) ここで(2)(3)の和が n+1 日後に雨が降る確率です。これが漸化式になります。
(5) あとは、特性方程式を解いて一般式に直せばＯＫです。

わからなかったら補足してください。

この回答へのお礼

お礼が大変遅くなり、すみませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/06/12 19:48

No.2 回答者： BO-BO-keshi 回答日時： 2005/05/08 16:02

こんにちは！

確率漸化式の問題ですか。大学入試でもよく見かけますね。

漸化式をどこから持ち出すのかという事ですが、Ｐ(n+1)とＰ(n)の関係式を作ってやれば出てきます。それを作ってやるのに、おっしゃるように雨が降った場合と降らなかった場合で分けて考えればいいと思います。

具体的には
n+1日後に雨が降る確率Ｐ(n+1)は
n日後に雨が降ってn+1日後にも雨が降る確率
　Ｐ(n)×0.6
n日後に雨が降らないでn+1日後は雨が降る確率
　{1-Ｐ(n)}×0.4
の和になっているので、
Ｐ(n+1)＝Ｐ(n)×0.6＋{1-Ｐ(n)}×0.4
　　　　＝Ｐ(n)×0.2＋0.4
が成立します。そして題意から、Ｐ(1)＝0.6であるので、これで漸化式が完成しました。あとはこれを解いてやればいいというわけです。

この回答へのお礼

お礼が遅くなり、大変申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/06/12 19:48