三角関数の変換で納得いかないところがあります

添付した画像の、シャーペンで印をつけたところですが、
costをcosxに書き換えたり、sintをsinxに書き換えていますが、なぜこんなことができるのですか？
x=π/2-tと置いているのだから、cont=cos(π/2-x)=sinxとなり、costはcosxにはならないと思うのですが...

何時間考えてもわからないので、教えてください

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/05 22:49

積分記号

∫
から
dx
までの間の変数xは
∫
から
dx
までの間だけ有効な局所変数なので
どんな変数にでも置き換えることができるのです

x=π/2-tと置いたときの
x
と

costをcosxに書き換えたり、sintをsinxに書き換えた
x
は
同じ変数名を使ってはいるけれども
全く別のものなのです

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/05 20:09

おまけ.

そこのやりかたでわからないというなら, 次のように考えてみたらどうだろうか:
I を
・x=t とおいて t で表す
・x=π/2-t とおいて t で表す

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/04 20:07

cos とか x = π/2 - t とか関係なく、積分変数は置き換えることができます。

一般に、∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,b] f(t) dt です。
例えば f(x) =2x なら、∫[a,b] f(x) dx = b^2 - a^2 = ∫[a,b] f(t) dt ですね。

I + J を後でひとつのインテグラルにまとめるために
I = ∫[0～π/2] (sin x)/(sin x + cos x) dx と
J = ∫[0～π/2] (cos t)/(cos t + sin t) dt の積分変数を揃えたかったわけですが、
これを dx に揃えたから解りにくくなったのでしょう。

冒頭に書いたように、積分変数は置き換えることができるので、
I = ∫[0～π/2] (sin u)/(sin u + cos u) du と
J = ∫[0～π/2] (cos u)/(cos u + sin u) du とでも置き換えれば、
I + J = ∫[0～π/2] (sin u + cos u)/(sin u + cos u) du
　　= ∫[0～π/2] 1 du = π/2 です。
あとは、 写真の解答にあるように I = J より I = J = π/4 になります。

I, J の積分変数を揃えた話と、
x = π/2 - t の置換積分で I = J を示した話には
何の関係もないのでした。
積分変数を揃えるとき、もとの x なんか使うからややこしいだけです。

ちな、この解答の計算手法は、 King property と言って
とある界隈ではつとに有名です。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/04 16:40

積分記号

∫
から
dt
までの間の変数tは
∫
から
dt
までの間だけ有効な局所変数なので
どんな変数にでも置き換えることができるのです

∫{0～π/2}cost/(cost+sint)dt
=[cost/(cost+sint)のtを0からπ/2まで変化させて積分したもの]
と
∫{0～π/2}cosx/(cosx+sinx)dx
=[cosx/(cosx+sinx)のxを0からπ/2まで変化させて積分したもの]
は
等しい

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/04 16:24

その○かこみの左辺＝∫[0～π/2](cosｔ/(cosｔ＋sinｔ))dｔ　

になるのはわかりますね。
これは
∫[0～π/2](cosｘ/(cosｘ＋sinｘ))dｘをｘ＝ｔとおいて
置換積分したものと解釈することができます：
ｘ＝ｔとおけばｔが0からπ/2変わる間にｘも0からπ/2変わり
dｘ＝dｔだから
∫[0～π/2](cosｔ/(cosｔ＋sinｔ))dｔ
＝∫[0～π/2](cosｘ/(cosｘ＋sinｘ))dｘ　です。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/04/04 14:23

よく考えてください！確かに　その部分をみれば理解しにくいのですが

その部分の全体をみれば　その部分の積分は定積分ですね　つまり　
　定数だから　t も　x 　も　変数なのでどんな変数でもいいわけです
　ここで　tからxにしたわけは　単に　xの方が見慣れているからで
tのままで計算しても差し支えませんね！

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/04 10:58

積分記号

∫
から
dt
までの間の変数tは
∫
から
dt
までの間だけ有効な局所変数なので
どんな変数にでも置き換えることができるのです

∫{0～π/2}sint/(sint+cost)dt
=[sint/(sint+cost)のtを0からπ/2まで変化させて積分したもの]
と
∫{0～π/2}sinx/(sinx+cosx)dx
=[sinx/(sinx+cosx)のxを0からπ/2まで変化させて積分したもの]
は
等しい

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/04 09:34

鉛筆で丸を付けた部分では

　t = π/2 - x
と置いた「x」とは全く関係なく、単に「変数の記号」を「t」から「x」に書き換えているだけです。

変数を t のまま積分してもよいが、「成分するときの変数は x と書く」と思い込んでいる人がいるから、そう表記を変更しているだけ。
まあ、積分範囲を「マイナス」でひっくり返すついでにそうしているのでしょう。

「変数」は仮の「記号」であって、「固有名詞」ではないと考えればよいです。
変数変換で
「t = π/2 - x とおく」
というときには「固有名詞」に近い扱いをしているので、そういった「使い分け」ができる「柔軟なアタマ」にしておきましょう。

No.2 回答者： akari31 回答日時： 2024/04/04 09:28

cost=cos(π/2-x)=sinxとなり、costはcosxにはならないと思うのですが...

その通りですが、問題文に使用されているのは、
cosx,sinxですので、costをsinxに変換したのに、何故、
sintをcosxに変換しないのですか。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/04 02:57

定積分において, 「積分している変数」はその定積分の中でしか意味を持たない. だから (他の変数と衝突しない限りにおいて) 自由に名前を変えてかまわない.

あるいは, x = π/2-t とすることにより積分変数を x から t に変えたのだから, その前に「x を積分変数として使っていた」ことはきれいさっぱり忘れてしまえ.

なおこの話において三角関数は全く無関係.