この変形の何が違うのかわからないので、教えてください！

Question

yhr2 · Accepted Answer

No.1 です。「お礼」について。

＞y=arcsinxと書かれる時、絶対、yは-π/2以上π/2になる。ということで良いですかね？

必ずしも「-π/2 ≦ y ≦ π/2」の範囲でなくともよいですが、x と y が「１対１」に対応する定義域である必要があります。

「π/2 ≦ y ≦ (3/2)π」でもよいですが、「0 ≦ y ≦ 2π」ではダメです。
もっとも代表的な定義域「-π/2 ≦ y ≦ π/2」を「主値」と呼ぶようです。それに対して、ちょっと特殊な「π/2 ≦ y ≦ (3/2)π」などの定義域にしたものは「枝、分枝」などと呼ぶようです。

参考
↓
https://mathlandscape.com/arcsin/
https://www.mns.kyutech.ac.jp/~okamoto/education/mathformula/inverse-trigonometric-func080528b.pdf

ありものがたり · Answer

＞ y=sinxで、定義域が、xが-3π/2以上、-π/2であっても
＞ 一対一で対応するので、逆関数を考えても良いということですか？

はい。
x = sin^-1 y ⇔ (y = sin x かつ -(3/2)π≦x≦-π/2)
になるように sin^-1 を定義してもかまいませんし、

なんなら、
x = sin^-1 y ⇔ (y = sin x かつ (-π＜x≦-π/2 または 0≦x≦π/2))
とか
x = sin^-1 y ⇔ (y = sin x かつ { (-(3/2)π≦x≦-π/2 かつ y は有理数)
　　　　　　　　　　　　　　または (-π/2≦x≦π/2 かつ y は無理数) })
とかでもかまいません。
このようにして多価関数を一価化したものを、その多価関数の「枝」といいます。
連続関数になるものだけを「枝」と呼ぶ場合もあるので、文脈に注意が必要です。

x = sin^-1 y ⇔ (y = sin x かつ -π/2≦x≦π/2) も、
x = sin^-1 y ⇔ (y = sin x かつ -(3/2)π≦x≦-π/2) も、
どちらも sin^-1 の連続な枝のひとつです。

枝の中で、世間的によく使われるものに
「主値」という名前がついている場合があります。
x = sin^-1 y については、-π/2≦x≦π/2 の枝を主値としている本が
多いように思います。(どの枝が主値かも、文脈依存ではありますが。)

ありものがたり · Answer

＞ y=arcsinxと書かれる時、絶対、yは-π/2以上π/2になる。
＞ ということで良いですかね？

そこで「絶対」という言葉を使ってたずねたってことは、
実は解っててきいているんだろうよ。人がわるいな。

sin^-1 とか arcsin とかは、sin の周期性のために
定義域に制限を付けなければ多価関数になってしまう。
これを1価にするための定義域は、文脈によって違う場合がある。
-π/2 ≦ x ≦ π/2 にする場合が多く、特に断り書きがなかったら
そう想定して読むのが親切だろうが、明示的に定義域を書いて
他の区間を指定してもよい。

yhr2 · Answer

sin の逆関数は、「１価性」つまり
　x = sin^(-1)(y) = arcsin(y)
の「x と y が１対１に対応する」という性質をもたせるために、
　-π/2 ≦ x ≦ π/2
としなければなりません。

従って
　-π/2 ≦ a ≦ π/2
→　π/2 ≦ π - a ≦ (3/2)π
となって定義域が異なるため、
　sin(π - a)
の逆関数は表記できません。

この変形の何が違うのかわからないので、教えてください！

No.1 です。

＞ y=sinxで、定義域が、xが-3π/2以上、-π/2であっても

＞ y=arcsinxと書かれる時、絶対、yは-π/2以上π/2になる。

sin の逆関数は、「１価性」つまり

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