数学Aの整数の性質について質問です。 ほぼほぼ背理法の質問かもしれないですが、 証明の、a+bとab

数学Aの整数の性質について質問です。
ほぼほぼ背理法の質問かもしれないですが、
証明の、a+bとabが互いに素でないと仮定すると、と一行目に書いてあるのに、
これは互いに素であると矛盾する。と仮定したことと反対の互いに素で“ある”と逆のことを言って証明になる意味がわかりません。
背理法って、仮定を立てて、その矛盾を証明するんですよね？
それなのになんでこの問題では、仮定と全然違うことを矛盾しているという感じになっているんでしょうか？

質問者からの補足コメント

• aとbが互いに素であり、と証明の初めに書いてあればいいと思うんですけど、、
  なんで書かないのですかね？
  仮定の否定なのに、きちんと仮定を書いてないように思えるのですが、、

    補足日時：2024/05/04 18:21

• やっぱ意味不明です。

    補足日時：2024/05/04 19:30

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/04 21:06

「仮定」という表現が何回か出てきているんだけど, それぞれで「仮定」が何を表しているのかきちんと把握できているのだろうか. ちょっと心配.

で本題.

もちろん「どのような方針で証明するか」というのは最初に書いてくれていると読み手に親切で助かる (現実はそんなに簡単じゃないけど). だから, この場合も
・背理法で証明する
・そのため, これこれこんな命題が矛盾を生じることを示す
と書いてもらえると, 採点する人は楽になるね (実際はそんなに以下略).

以下ある意味の余談.
背理法そのものは
(無矛盾な) 前提のもとで命題 P が成り立つことを証明するために, 前提と「P の否定」から矛盾を導く
という方法なわけだけど, この証明すべき命題 P が「X ならば Y」のような形だと X の扱いは
・証明すべき命題の一部とする
・前提の一部とする
のどちらでも結果的に証明ができてしまう.

この回答へのお礼

つまり、解答に書かないでいいんですかね？
チャート式なんですけど、書いてないのでその方針にしたいと思います。

お礼日時：2024/05/04 22:15

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/04 21:14

aとbが互いに素であるとする…(仮)

a+bとabは互いに素でない,
すなわちa+bとabは共通な素因数pをもつと仮定すると
a+b=pk…①
ab=pL…②
(k,Lは自然数)
と表される.
②から,aまたはbはpの倍数である.
aがpの倍数であるとき,a=pmとなる自然数mがある
このとき,①から
b=pk-a=pk-pm=p(k-m)
となり,
bもpの倍数である.

これはaとbが互いに素であること(仮)に矛盾している

bがpの倍数であるときも,同様にしてaはpの倍数であり、

aとbが互いに素であること(仮)に矛盾する

したがって,a+bとabは互いに素である.

この回答へのお礼

問題文から引っ張って「これは矛盾する」って言っていいんでしょうか？

お礼日時：2024/05/04 22:11

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/04 20:31

問題文をチャント読んだ？

証明したい事：(a,bが互いに素)⇒(a+bとabは互いに素)

証明は上の対偶(逆の否定)を証明すれば良い（命題と命題の対偶は同値)。

つまり、
(a+bとabが、共通素因数を持つ)⇒(a,bは共通素因数を持つ)が証明出来れば良い。

解答はこれを証明してる。

この回答へのお礼

いや、何を言ってるんですか。

お礼日時：2024/05/04 22:08

No.2 回答者： AっKI 回答日時： 2024/05/04 18:26

ま、引っ掛かるなら

あなたはきちんと書けばいい
というだけの話ですね。

否定しているのは「結論部分だけ」つまり
a+bとabが互いに素
という部分です。

そして、矛盾が起きたのは仮定部分の
aとbが互いに素
という部分です。

このあたりを混同していると思われます。

背理法は
『結論を否定して「仮定の部分に矛盾を導く」』
という手法です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

矛盾が起きたのは仮定部分
これですこれ。
なんでこれを証明(チャートの解説)の最初に書かないのでしょうか？
書かなかったら減点とかじゃないんですか？

お礼日時：2024/05/04 18:29

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/04 18:23

＞ 仮定したことと反対の互いに素で“ある”と

＞ 逆のことを言って証明になる意味がわかりません。

それが「背理法」です。背理法が何だかわからないんですね。
慣れないとわかりにくい、独特の論法ではあるのですが...

仮定したことと反対のことを導出したってことは、
P を仮定して notP を証明したことになります。
P はもともと仮定しているので、(P かつ notP) が証明された
とも言えますね。 (P かつ notP) は、P の内容によらず
常に偽なので、偽な命題を真だと証明してしまったことになります。
我々は、日常、自分達が使う証明系が矛盾であると仮定して
議論を行っています。無矛盾とは、偽な命題が真であると証明
されることがない証明系だという意味です。

日頃我々が使う証明系が無矛盾であることは、証明されていないし、
我々が使う証明系における推論でそれを証明することはできない
ことが既にゲーデルによって証明されてしまっているのですが...
現代において数学を行う者は、自分達の証明系が無矛盾だと
仮定して、日々の考察を行っているのです。

この回答へのお礼

いや違うんですよ。

証明の、a+bとabが互いに素でないと仮定すると、と一行目に書いてあるのに、
っていうこれです。
倍数であることの証明になっているのに、互いにその証明になってるんです

お礼日時：2024/05/04 18:27