複素三角関数sin(z)のビジュアル化について

複素数zによる複素関数 sin(z)やcos(z)のイメージが
分からないので、なんとかグラフで理解したいと
考えております。

もしグラフ化の方法や参考サイトが分かりましたら
是非ご教示いただきたく、宜しくお願いいたします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/12 09:14

複素数は、実部と虚部からなる実２次元の空間です。

複素関数は、実2次→実2次 の写像になりますから、
４次元空間が見えないとひとつのグラフにできません。

よく行われているのは、間接的ですが、
複素関数を (変数の実部,虚部)→値の絶対値 と
(変数の実部,虚部)→値の偏角 のふたつの
3次元のグラフに分けて表示する方法です。

３次元のグラフ自体、紙面に書くのは工夫を要しますが、
俯瞰図で絵画的に表現する方法と
変数の複素数平面上に値を色で表示する方法とが
よく使われるようです。
一例↓
http://skomo.o.oo7.jp/f21/hp21_8.htm

この回答へのお礼

ご回答いただき、ありがとうございます。

＞よく行われているのは、間接的ですが、
＞複素関数を (変数の実部,虚部)→値の絶対値 と
＞(変数の実部,虚部)→値の偏角 のふたつの
＞3次元のグラフに分けて表示する方法です。

上記及び参考サイトをご提示いただき助かりました。

なるほど「絶対値」「偏角」でグラフ化すると、
「実部」「虚部」でのグラフ化とはまた視点の
異なる理解ができると気付きました。
また「等高線でのグラフ化」という表現方法も分かり
未だ腑に落ちた理解には及びませんが、なんとか
理解してみようと思っております。

ありがとうございました。

お礼日時：2024/05/14 07:18

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/12 08:55

図は　w

この回答へのお礼

お礼日時：2024/05/14 07:03

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/12 08:53

質問のイメージがつかめませんがテキトー

　w=sin(z)=sin(x+iy)=sin(x)cosh(y)+icos(x)sinh(y)
したがって、
　w=u+iv
とすると
　u=sin(x)cosh(y), v=cos(x)sinh(y)

cosh(y)は遇関数で、y → ±∞で、cosh(y) → +∞
したがって、uはsin(x)の振幅がy → ±∞で、増加。

同様に、sinh(y)は奇関数で、y → ±∞で、sinh(y) → ±∞
したがって、vはcos(x)の振幅のがy → +∞で、増加、y → -∞
で、逆符号になり、大きさは増加。

図はu

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

＞w=sin(z)=sin(x+iy)=sin(x)cosh(y)+icos(x)sinh(y)

上記及びグラフまでご提示いただき、助かりました。
（今更ですが、オイラーの式を使ってsin(z)やcos(z)
の外に虚数iを出せば、グラフ化が可能になると
気付きました･･･)

ありがとうございました。

お礼日時：2024/05/14 07:02