グラフ

ｙ＝ｘ³/ｘ²-4について凹凸を調べグラフを書け。漸近線がある場合は漸近線も求めよ。

という問題ですがｙ‘やｙ‘‘で調べてもおかしな増減表しか出てきません。計算間違いだと思いますが答えがないので…。解ける方いましたら教えて下さい。宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/12/07 16:01

＞ｙ＝ｘ^3/ｘ^2-4について凹凸を調べグラフを書け。

漸近線がある場合は漸近線も求めよ。

x^2－4≠0より、x＝-2，ｘ＝2は、漸近線。
lim(x→-2-0)ｙ＝-∞，lim(x→-2+0)ｙ＝+∞，
lim(x→2-0)ｙ＝-∞，lim(x→2+0)ｙ＝+∞

y'＝{3x^2・(x^2－4)－x^3・2x}/(x^2－4)^2＝x^2(x^2－12)/(x^2－4)^2
y'＝0とすると、x＝0，-2√3，2√3

増減表は、
x＜-2√3のとき、ｙ'＞0，-2√3＜x＜-2のとき、y'＜0　より、ｘ＝-2√3のとき、ｙは極大値をとる。
x＝-2√3のとき、極大値ｙ＝-3√3

-2＜x＜0のとき、y'＜0，0＜x＜2のとき、y'＜0 より、x＝0のとき、極値はとらない。

2＜x＜2√3のとき、y'＜0，2√3＜xのとき、y'＞0　より、x＝2√3のとき、yは極小値をとる。
x＝2√3のとき、極小値ｙ＝3√3

y''＝[{2x(x^2ー12)＋x^2・2x}・(x^2－4)^2－x^2(x^2－12)・2(x^2ー4)・2x]/(x^2－4)^4
＝(x^2ー4){(4x^3－24x)(x^2－4)－4x^3(x^2－12)}/(x^2－4)^4
＝8x(x^2＋12)/(x^2－4)^3
y''＝0とすると、x^2＋12＞0より、x＝0

増減表は、
-2＜x＜0のとき、(x^2－4)^3＜0より、y''＞0（曲線は凹）
0＜x＜2のとき、(x^2－4)^3＜0より、y''＜0（曲線は凸）だから、
x＝0は、変曲点。

以上をまとめるとグラフがかけると思います。
微分の計算や増減表など確認してください。

この回答へのお礼

お礼遅くなりました。すみません。とても助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2012/12/22 15:03

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/07 18:41

本人の間違いを確認せずに

正解だけ見せるのは、
どうかと思うけどな。
現時点で、質問氏の返信なし。

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/12/07 17:18

ANo.2です。

　y＝x　も　漸近線でした。

ｙ＝x^3/(x^2-4)＝ｘ＋{4ｘ/(x^2－4)}
lim(x→±∞)(y－x)＝lim(x→±∞){4x/(ｘ^2－4)}＝0だから、
y＝xは、漸近線。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/12/07 16:27

y=x^3/(x^2-4)=x+4(x/((x-2)(x+2)))

漸近線:y=x, x=-2, x=2
y'=(x^2)(x^2-12)/((x-2)(x+2))^2
y'=0とするxは x=0(重解),±2√3
x=2√3で極小値3√3
x=-2√3で極大値-3√3
x=0でy=0

増減表は合ってますか?

図を描くと
添付図のようになります。
黒色太実線がグラフ、青実線が3本の漸近線になります。

質問者さんの描いたグラフや増減表と比較して見て下さい。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/07 14:34

増減表がオカシクなる理由は、

x=0 の近所での処理を間違えてるからに違いない。(←ヤマカン)

貴方が書いた増減表を補足に書けば、
修正すべき点をアドバイスできますよ。