大学数学 広義積分について

区間[a,∞)で定義される関数f(x)について、
x→∞でf(x)→0ならばaから∞でf(x)を積分したとき収束するというのは正しいですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/12 15:20

正しくないです。

∫[a→+∞] f(x) dx が収束すれば lim[x→+∞] f(x) = 0 は成り立ちますが、
lim[x→+∞] f(x) = 0 なら ∫[a→+∞] f(x) dx が収束...は成り立ちません。

反例のひとつとして、f(x) = 1/√x が挙げられます。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/05/12 18:10

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/13 10:34

正しくないです

f(x)=1/x

とすると

x→∞でf(x)=1/x→0

だけれども

0<aから∞でf(x)=1/x を積分したとき

∫[a～∞](1/x)dx=lim[x→∞](logx-loga)=∞

に
発散する(収束しない)