こういう積分って

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質問者：ゆゆにゃ。
質問日時：2024/06/06 15:27
回答数：4件

具体的にどういう積分の時に使えますか？？

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回答 (4件)

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No.2ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/06/06 19:01

u = x + √(x^2 + 1)　…① で置換積分したんですね。

その置換は巧妙で、一般に 2変数文数式 f(x,y) による
S = ∫ f(x, √(x^2 + 1)) dx を計算するのに使えます。
① を変形すると
√(x^2 + 1) = u - x　…②,
x = (u^2 - 1)/(2u)　…③,
du/dx = 1 + x/√(x^2 + 1)　…④
が導けるので、これらを ④, ②, ③ の順に使って
S = ∫ f(x, √(x^2 + 1))(dx/du) du の式から
du/dx, √(x^2 + 1), x を順番に消せば、
S は u の分数式の積分に変形されます。
分数式の積分は、部分分数分解して項ごとに積分すれば
いつでも計算できましたね。

便利と言えば便利なのですが、巧妙過ぎて、
この方法でなぜうまくいくのかが見えにくく、
受験数学のパターン解法のような不快感を残します。
これに見通しを持ち込むには、
① を 2段階に分けて置換するのがよいように思います。

∫ f(x, √(x^2 + 1)) dx をいろいろ式変形してみると、
√(x^2 + 1) というカタマリがどうしても消えずに残り
扱いづらいことがわかります。そこを改善する手段として
双曲線関数を使って x = sinh z と置換してみる。
双曲線関数の定義は sinh z = (e^z - e^-z)/2,
cosh z = (e^z + e^-z)/2 ですが、
三角関数の (cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1 に似た
(cosh z)^2 - (sinh z)^2 = 1 という公式があります。
このため、x = sinh z と置くと √(x^2 + 1) = cosh z になる。
dx/dz = cosh z でもあるため、
S = ∫ f(x, √(x^2 + 1))(dx/dz) dz
　= ∫ f(sinh z, cosh z)/(cosh z) dz
　= ∫ f((e^z - e^-z)/2, (e^z + e^-z)/2)・2/(e^z + e^-z) dz
と変形できます。

この式を見れば、 S は u = e^z の置換で
u の分数式の積分へ変形できそうだなって思いますよね。
u が ① の u と同じものです。
① は、双曲線関数や指数関数を表に出さずに
代数式だけで済ませているところが秀逸なのですが、
巧妙過ぎて、発想が伝わってきませんでした。

あと、積分の式から √(x^2 + 1) を消す別の方法としては、
x = tanθ で置換してから t = tan(θ/2) で再度置換する
という方法もあります。
こちらは、数III の受験参考書にも載ってるかな？