複素関数論のローラン展開について

1/sinzの展開で
1/sinz = 1/z * 1/(1- (z^2/3!) + (z^4/5!) - ...) となり
u = (1- (z^2/3!) + (z^4/5!) - ...)として，
展開公式1/1-u = 1+ u^2 + u^3+ ... より，〜
という解き方がありますが，展開公式1/1-u = 1+ u^2 + u^3+ ...　が使える条件である|u| < 1 はどのように，確認すれば良いのですか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/30 21:42

1/sin z の z = 0 中心のローラン展開の

z = 0 に一番近い収束円環は、
結果的に 0 < ｜z｜ < π なんですよ。
そのことは、 1/sin z の z = 0 に一番近い特異点が
z = ±π にあることから判ります。

だから、質問文中の式はちょっと間違ってるけど、
sin のマクローリン展開 sin z = z - z^3/3! + z^5/5! - ... を
1/sin z = (1/z) ・ 1/( 1 - z^2/3! + z^4/5! - ... )
　　　　= (1/z) ・ 1/(1 - u)　； ただし u = z^2/3! - z^4/5! + ...
と変形してから
1/(1 - u) = 1 + u + u^2 + u^3 + ... を使いたいなら、
0 < ｜z｜ < π の範囲で ｜u｜ < 1 であることを示しておけばいい。

1/sin z = (1/z) ・ 1/(1 - u) としたってことは
u = 1 - (sin z)/z なので、
0 < ｜z｜ < π の範囲で ｜1 - (sin z)/z｜ < 1 を言えばよいです。
これは、簡単ですね？

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2024/06/30 17:57

u = (1- (z^2/3!) + (z^4/5!) - ...)として，

ってあるけど
u＝(z^2/3!) - (z^4/5!) + ...じゃないですか？
これで説明すると、δ＞0が0に十分近ければ
べき級数の連続性によって
|z|＜δならば|u|は0近くの値しかとらないので当然|u|＜1だから
0＜|z|＜δならばたしかに1/1-uの展開でロ－ラン展開は求められる、
しかしそのローラン展開は実はもともと求めようとする
ローラン展開そのものです。
なぜかというと、1/sinzは定理によって
0＜|z|＜π　で一意的にローラン展開が保証されているからです。
したがって、|u|＜1となるようなｚを探る必要もないのです。