今更だけど

ローラン展開で
１。なんで1/1-x = 1+x+x^2+... |x|<1 という展開ばかりでてきますか？
２。なんか1/z^n みたいなのは出しておいてテイラー展開できる部分はして、最後に1/z^nをかけるのは、よくわかりませんけど、正則な部分をは展開して、非生息な要素を最後にかけてますか？
たとえば

cosz/z = (1/z)(1-z^2/2!+z^4/4!-z^6/6!+...)
みたいにみたいにするのが急に子供っぽくて変な感じがします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/21 17:09

ローラン展開するときに 1/(1 - x) のマクローリン展開をいつもつかう

ということは、特にないと思いますよ。
質問文中の (cos z)/z にだって、その式は使いませんよね。

ローラン展開に 1/(1 - x) = 1 + x + x^2 + ... を使うのは、
1/{ (x^m)(1-x) } の x = 0 を中心としたローラン展開くらいのもの
でしょう。あなたがそれを何度も見かけたのは、たまたま
ローラン展開の例として 1/{ (x^m)(1-x) } を展開する解説ばかりを
繰り返し目にしたからではないでしょうか。
同じ例についての解説を何回呼んでも、それは
例としては 1 例に過ぎません。他の例を見ないと
経験を積んだことにはなりませんよ。

ローラン展開の解説として 1/{ (x^m)(1-x) } (特に m = 1)
が取り上げられやすいのは、これが
正則部に特異点があるローラン展開の例として最も簡単なもの
だからでしょう。
(cos z)/z = (1/z)(1 - z^2/2! + z^4/4! - z^6/6! + ...) と同様の考えで
1/{ (x^m)(1-x) } = (1/x^m) ・ 1/(1 - x)
　　　　　　　= (1/x^m) ・{ 1 + x + x^2 + ... } だというわけです。

ただし、この例はやや簡単過ぎます。
ローラン展開の極中心でのローラン展開の例として
展開対象の関数として有理関数(分数式)だけを扱うこと自体
説明したフリみたいなもんですから。

この回答へのお礼

あちやまいいね？

お礼日時：2024/07/22 09:55

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/21 08:42

１。

それは、マクローリン展開(テイラー展開の一種)であって
ローラン展開ではありません。
展開中心 x = 0 で、 1/(1 - x) は正則ですね？

２。
そう説明するのが、話として簡単だからです。
ローラン展開の係数を求めるのは、
展開中心が真性特異点の場合、非常に困難です。
中心が極であれば、質問文にある方法で
「cos z をテイラー展開するだけ」のように
話を済ませることができます。
具体的に係数の値を与える公式も書くことができますが、
式が煩瑣になり、何を考えてその式が出てくるのか
が見通にくくなりがちです。

あと、細かいことですが、
「正則な部分」という言葉の使い方が不用意ですね。
ローラン展開の指数が負である項の和を「主要部」、
指数が 0 または正である項の和を「正則部」と言うので、
(cos z)/z の正則な部分 と言ったら、
(1 - z^2/2! + z^4/4! - z^6/6! + ...) ではなく
(1/z)(- z^2/2! + z^4/4! - z^6/6! + ...) を指していると
受け取られかねません。誤解のもとです。

この回答へのお礼

ごめんなさい。いいかたがちがくて、
ローラン展開するときに
1/(1 - x) のマクローリン展開をいつもつかうのはなんでですか？
２つ目については、なっとくしまっした。見た目のてんかいするまえはあんまりかんけいないのかな？て思いました

お礼日時：2024/07/21 14:17