写真の定理4-5の証明についてですが、なぜ赤線部のように0<x<1/a'と範囲を定めるのですか？ ま

写真の定理4-5の証明についてですが、なぜ赤線部のように0<x<1/a'と範囲を定めるのですか？
またa'＝max{a,1}の1というのはどこから出てきたのですか？
青線部にF,Gを定理4-4に適応したら定理4-5か示せるとのことですが、この途中式？がわからないです。
以上の2点について回答おねがいします。

写真: https://d.kuku.lu/we7czu5ke

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/19 19:23

定理4.4に適応させるために　

0<x<1/a'
と範囲を定めるのです

a'=max{a,1}
とするのは

1/a'
の分母a'が0以下にならないように

a'=max{a,1}
としているのです
だから1,2,3,でもどれでも正であればよいのだけれども
1が最も単純な数だから1とするのです

f(x),g(x)が(a,∞)上の微分可能な関数で
limit{x→∞}f(x)=lim{x→∞}g(x)=0
をみたしているとする
g(x)≠0,g'(x)≠0(x∈(a,∞))であり,
極限
lim{x→∞}f'(x)/g'(x)=A
が存在するとする

a'=max{a,1}とする
0<x<1/a'に対して
a≦a'<1/xだから
F(x)=f(1/x)
G(x)=g(1/x)
と定義できる

limit{x→+0}F(x)
=limit{x→+0}f(1/x)
=limit{x→∞}f(x)
=0

limit{x→+0}G(x)
=limit{x→+0}g(1/x)
=limit{x→∞}g(x)
=0

0<x<1/a'に対して
a≦a'<1/xだから
G(x)=g(1/x)≠0
G'(x)=-g'(1/x)/x^2≠0

limit[x→+0}F'(x)/G'(x)
=limit[x→+0}f'(1/x)/g'(1/x)
=limit[x→∞}f'(x)/g'(x)
=A

だから

定理4.4
(a,b),c,f(x),g(x)を(0,1/a'),0,F(x),G(x)に置き換えて適応できる
から

limit{x→+0}F(x)/G(x)=A　が成り立つ
　
limit{x→+0}f(1/x)/g(1/x)=A
∴
limit{x→∞}f(x)/g(x)=A