複素フーリエ

展開したい関数がぐうとかきなら
Σckexp(ikπx/L)
where ck=1/2L∫[-L,L]f(x)exp(-ikπx/L)dx
も、コサイン展開とかみたいにちょっとかんたんになるとおもうんですけどどうですか？？？
教科書には、expにぐうときがはいっちゃってるからフーリエ級数展開の時みたいに余弦展開とかは考える必要がないって書いてありました

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/17 13:52

exp(ikπx/L) = cos(kπx/L) + isin(kπx/L) なので

exp(ikπx/L) は偶関数でも奇関数でもなく、

f(x) = Σ(c_k)exp(ikπx/L) の c_k を求める計算
c_k = (1/(2L))∫[-L,L] f(x)exp(-ikπx/L) dx において、
f(x) が偶関数や奇関数であっても
被積分関数 f(x)exp(-ikπx/L) が偶関数や奇関数になりません。

だから、 c_k = ∫[-L,L] … dx = 0 にならず、
実フーリエ級数のときのような
f(x) が偶関数, 奇関数のとき式が簡単になる現象が起こらない。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/17 08:43

実フーリエ級数でコサイン展開が意味を持つのは、

f(ｘ) = a0/2 + Σ(a_k)cos(kπx/L) + Σ(b_k)sin(kπx/L)
の a0/2 + Σ(a_k)cos(ikπx/L) が偶関数,
Σ(b_k)sin(ikπx/L) が奇関数で、
それぞれが f(x) の偶部分, 奇部分 になるからですよ。

複素フーリエ展開 Σ(c_k)exp(ikπx/L) では、
各項 (c_k)exp(ikπx/L) が偶関数でも奇関数でもないから
そのようなことは起こりません。

この回答へのお礼

ううん、exp(ikπx/L) = cos(kπx/L) + isin(kπx/L)
なので、なるとおもいます。

お礼日時：2024/07/17 10:23