重積分 極座標変換 θの範囲について 1対1 数弱です。与えられた領域Dの図示が困難であるときの場合

重積分 極座標変換 θの範囲について 1対1
数弱です。与えられた領域Dの図示が困難であるときの場合の質問です。
例えば、D＝{(x,y)l(x^2+y^2)^2≦a^2(x^2-y^2)}(a>0)で与えられたとします。
このとき、x＝rcosθ,y＝rsinθで変数変換するのですが、θを1対1するときの範囲の決め方がわかりません。
順当に解いていくと、
r^2≦a^2 ×cos2θ
であり、
-a√cos2θ≦r≦a√cos2θ
となります。
次に、1対1になるように距離であるからr>0と
-π<θ≦π(0≦θ<2πも可)の中で上のrについての条件式を満たす範囲を見つけなければなりません。

しかし、ここからがわかりません。大前提として、r≦a√cos2θよりcos2θは正でなければいけないので、-a√cos2θは0以下になります。
よって、0≦r≦a√cos2θです。
では、θの範囲について考えるとcos2θ>0より、
3π/4≦θ<πと-π/4≦θ≦π/4と-π≦θ≦-3π/4
の３つの領域が出てきてしまいます。
この場合、この3つに関してそれぞれ重積分を行い、全て足し合わせれば良いのでしょうか？
それとも、この3つのうちからどれか1領域を抜粋し、重積分を行わないと3対1になってしまうのでしょうか？

Dの領域が図示できないとすると、どう考えれば良いのでしょうか。ご教授お願いします。

質問者からの補足コメント

• ≦と<の扱いがおざなりになってます。申し訳ありせん

    補足日時：2024/07/27 22:11

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/07/27 23:09

0≦θ≦2π → 0≦2θ≦4π　・・・・①

ですから、この範囲で cos2θ≧0　を調べればよい。

周期関数だから、一般に
2πn≦2θ≦π/2+2πn
3π/2+2πn≦2θ≦2π(n+1)
となるが、これらの中で①の範囲を満たすのは
n=0,1 のときのみで

0≦2θ≦π/2, 2π≦2θ≦5π/2 → 0≦θ≦π/4, π≦θ≦5π/4
3π/2≦2θ≦2π, 7π/2≦2θ≦4π → 3π/4≦θ≦π, 7π/4≦θ≦2π
の4つの範囲となる。