数学の質問です。0≦x≦a における関数f(x)＝x^2-4x+5について最大値 最小値を求めろとい

数学の質問です。0≦x≦a における関数f(x)＝x^2-4x+5について最大値　最小値を求めろという問題で
場合分けをする際に中央値をとり、0〈　a/2〈　2＝
0〈　a 〈　4になると解説に書いてあったのですが、なぜ≦から〈　になったのか分かりません

No.5 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/08/05 12:44

f(x)＝x^2-4x+5 = (x - 2)^2 + 1

だから

0 ≦a <2 最大値 5, 最小値 (a-2)^2 + 1
2 ≦a ≦4 最大値 5, 最小値 1
4 < a 最大値 (a-2)^2 + 1, 最小値 1
かな？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/05 11:07

f(x)＝x^2-4x+5 = (x - 2)^2 + 1

だから

0 ≦a ≦2 最大値 5, 最小値 (a-2)^2 + 1
2 ≦a ≦4 最大値 5, 最小値 1
4 ≦ a 最大値 (a-2)^2 + 1, 最小値 1

上の場合分けは、重複を嫌うと
0 ≦a <2 最大値 5, 最小値 (a-2)^2 + 1
2 ≦a <4 最大値 5, 最小値 1
4 ≦ a 最大値 (a-2)^2 + 1, 最小値 1

でもよいから、最大値5になる範囲は
0 ≦ a <4
でもよいのだけど、何故に 0 < a <4　？

0 ≦x≦a=0 なら x = 0 だから
最大値=最小値 = 5 という場合分けも設けたのかな？

普通そんなことしないのでちょっと疑問。

でも
0 < a <4
という場合分けができないわけじゃないけど・・・

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/03 18:38

＞ 場合分けをする際に中央値をとり、0〈　a/2〈　2＝

＞ 0〈　a 〈　4になると解説に書いてあった

場合分けをする際に「何が」 0 < a < 4 になるんだろうね？
「中央値をとり」って言い方も奇妙だし、
数学の解説を読む以前に、まず日本語がちゃんと読めるように
なることが大切じゃない？

＞ なぜ≦から〈　になったのか分かりません

何が ≦ から < になったと言うんだろうね？
0 < a/2 < 2 が 0 < a < 4 へ同値変形されてるだけで、
≦ が < になってはいないように見えるけど。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/03 16:46

0≦x≦a

f(x)=x^2-4x+5
f(x)=(x-2)^2+1

0≦a≦2のとき最小値f(a)=a^2-4a+5
2≦aのとき最小値f(2)=1

f(0)=5
f(a)=a^2-4a+5
f(a)-f(0)=a(a-4)

0≦a≦4　のとき最大値f(0)=5
4≦a のとき最大値f(a)=a^2-4a+5

0≦a≦2のとき 最大値f(0)=5 ,最小値f(a)=a^2-4a+5
2≦a≦4のとき 最大値f(0)=5 ,最小値f(2)=1
4≦a のとき 最大値f(a)=a^2-4a+5 ,最小値f(2)=1

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/03 16:17

お定まりの「平方完成」をすれば

f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1

ですから、
(a)「0≦x≦a」のなかに「頂点を含むか否か」
　→　含めば頂点が最小
(b) 頂点が中点ならば、最大値は x=0 と x=a のとき
　（定義域の中で左右対称だから）
(c) 頂点が中点より大きければ、最大値は x=0 のとき
(d) 頂点が中点より小さければ、最大値は x=a のとき
で場合分けしているのでしょう。

＞なぜ≦から〈　になったのか

何を指しているのか分かりませんが、「0≦x≦a」に対して「0<(a/2)<2」にするのは
・a=0 だったら「0≦x≦0」で「x=0」になってしまうので、a≠0 で考える。
・上記の (d) を判定したければ「0 < a/2 < 2」になります。
　a/2 = 2 だと (b) のケースになりますから。

形式的に「<」だ「≦」だと考えるのではなく、「それが何をしているものか」をきちんと考えましょう。