このシグマのしきはなにを表していますか。またなぜnC2通りなのでしょうか

このシグマのしきはなにを表していますか。またなぜnC2通りなのでしょうか

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/20 00:49

> シグマのしき

あんまり馴染みのない書き方ですよね。
　　Σ[1≦k＜J≦n] f(k,j)
というのは（[ ]内はΣ記号の下に書くものだと思ってください）
　　Σ[(k,j)∈{(x,y)| 1≦x＜y≦n}] f(k,j)
と書くこともあって、この集合{(x,y)| 1≦x＜y≦n}の要素全てについて1回ずつ足し算をしろ、という意味です。だからこれは
　　Σ[k=1〜(n-1)] (Σ[j=(k+1)〜n] f(k,j)
とか
　　Σ[j=2〜n](Σ[k=1〜(j-1)] f(k,j)
と書いても同じことです。（〜●の部分は●をΣ記号の上に書くものだと思ってください。）
　しかし、ナンデ馴染みのない書き方を使ったのか。それはおそらく：

最初の式をSとして、これを素直に展開すれば、
　　S = Σ[k=1〜n] (Σ[j=1〜n] a[k]/a[j] )
ですが、これを集合を使って書くこともできる。すなわち
　　U = {(x,y)| 1≦x≦n ∧ 1≦y≦n}
とすると、
　　S = Σ[(k,j)∈U] a[k]/a[j]
である。ここでUの右辺について、(x,y)を平面上の点の座標だと思えば、n²個の格子点が正方形に並んでいるのが集合Uです。また、
　　A = {(x,x)| 1≦x≦n}
とすると、AはUの対角線上に並んでいる点たちの集合で、UからAを取り除くと二つの三角形に並んだ点たちが残ります。三角形に並んでいるやつの一方を
　　B = {(x,y)|1≦x＜y≦n}
とし、他方の三角形になってるやつを
　　C = {(y,x)|1≦x＜y≦n}
とします。するともちろん、A, B, CはUを重複なしに分割したものになっており、すなわち
　　U = A∪B∪C
　　A∩B = B∩C = C∩A = ∅
です。なので、
　　S = (Σ[(k,j)∈A] a[k]/a[j]) + (Σ[(k,j)∈B] a[k]/a[j]) + (Σ[(k,j)∈C] a[k]/a[j])
　さて明らかに、対角線について線対称の位置にある点同士に
　　(k,j)∈C ⇔ (j,k)∈B
という関係がある。ですから、
　　Σ[(k,j)∈C] a[k]/a[j] = Σ[(j,k)∈B] a[k]/a[j]
ここで、右辺にあるj,kの記号を入れ替えれば
　　Σ[(k,j)∈C] a[k]/a[j] = Σ[(k,j)∈B] a[j]/a[k]
である。また、明らかに
　　(k,j)∈A ⇔ (k=j ∧ 1≦k≦n)
なので
　　Σ[(k,j)∈A] a[k]/a[j] = Σ[k=1〜n] a[k]/a[k] = Σ[k=1～n]1 = n
である。以上から、
　　S = n + (Σ[(k,j)∈B] a[k]/a[j]) + (Σ[(k,j)∈B] a[j]/a[k])
　　= n + Σ[(k,j)∈B]( a[k]/a[j] + a[j]/a[k] )
　　= n + Σ[1≦k＜j≦n]( a[k]/a[j] + a[j]/a[k] )
となり、これが2つ目の式です。

　というわけで、ナンデ馴染みのない書き方を使ったか。それは「（和を取る順番はどうでもいいんだから、順番を気にしないでただ）(x,y)∈Uであるn²個の点(x,y)についての総和」という風に捉えた方がカンガエヤスイために、この書き方が却って自然だった、ということでありましょう。

> なぜnC2通り

　　1≦k＜j≦n
を満たす(k,j)は何通りあるか。もちろん、上記の三角形に並んだ点たちの集合Bの要素の数と同じであり、なのでn(n-1)/2個の格子点が入っている。ですが、これはまた
　「{1,2,....,n} の中から相異なる二つの値を選び、小さい方をk,大き方をjとする。(k,j)は何通りあるか」
というのとも同じことで、だからnC2通り。

この回答へのお礼

大変詳しくありがとうございます！！
あなた方みたいなひとがいるおかげでとても助かってます！

お礼日時：2024/08/20 20:01

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/18 21:29

画像の通り

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/18 18:14

ああ、その Σ 記号の意味ですか？

1 ≦ k < j ≦ n を満たす整数 j, k のすべての組み合わせについて総和する
という意味でしょう。

1 以上 n 以下の整数から 2個選ぶ組み合わせの各々に対応して
k < j から k, j が決まりますから、
2Σ1 の値は 2・(1 以上 n 以下の整数から 2個選ぶ組み合わせの個数)
になります。それは、=2・nC2 ですよね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/18 18:03

1≦k<j≦n を満たす整数k、jの組み合わせはnC2個になります。

例、n=4、(k,j)=(1、2)、(1、3)、(1、4)、(2、3)、(2、4)、(3、4) 計6個=4C2

並べられたn個の中から、k番目とj番目をk<jとなるように選ぶ選び方の数は
n個の中から順番を考えずに2個取り出すとリ出し方の数と同じです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/18 17:49

最下行の式ですか？

√内を約分すると = Σ n + 2√1 ですから、
= n + 2・ｎC2 を表していますね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/18 17:03

まずは、1/a(i) = b(i) として、多項式の展開をする場合には

　(a1 + a2 + a3 + ･･･ + a(n))(b1 + b2 + b3 + ･･･ + b(n))
= a1(b1 + b2 + b3 + ･･･ + b(n)) + a2(b1 + b2 + b3 + ･･･ + b(n)) + a3(b1 + b2 + b3 + ･･･ + b(n)) + ･･･ + a(n)(b1 + b2 + b3 + ･･･ + b(n))

となるのは分かりますね？

この中で、1/a(i) = b(i) なので
①同じ i のときだけ a(i)b(i) = 1 → これを i=1～ｎ を足し合わせるので、式の2行目の「1 + 1+ ･･･ + 1」になります。

②残りは j≠k として a(j)b(k) を 1～n まで足し合わせたものになります。
　これは j=1～n、k=1～n なので、同じものが2回ずつ出てきます。
　従って
　　2Σ[j,k=1～n, j≠k]{a(j)b(k)}
つまり
　　2Σ[j,k=1～n, j≠k]{a(j)/a(k)}
と書けます。
でも、これ「j≠k」という条件を付けるので、何となくわかりにくいですよね。

この「２倍」というのは、
・j>k のときの a(j)/a(k)
と
・j<k のときの a(j)/a(k)
を足し合わせるという意味です。
それはさらに、
・j>k のときの a(j)/a(k) と a(k)/a(j) を足し合わせる
というのと同じですね。
それが、画像の Σ の式になることが分かりますか？

カッコの中の説明は、かえって分かりにくいですね。
「a(j)/a(k) と a(k)/a(j)」
ということで「n の中から j と k を選び出す選び方」という意味なのでしょうね。