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No.6ベストアンサー
- 回答日時:
> シグマのしき
あんまり馴染みのない書き方ですよね。
Σ[1≦k<J≦n] f(k,j)
というのは([ ]内はΣ記号の下に書くものだと思ってください)
Σ[(k,j)∈{(x,y)| 1≦x<y≦n}] f(k,j)
と書くこともあって、この集合{(x,y)| 1≦x<y≦n}の要素全てについて1回ずつ足し算をしろ、という意味です。だからこれは
Σ[k=1〜(n-1)] (Σ[j=(k+1)〜n] f(k,j)
とか
Σ[j=2〜n](Σ[k=1〜(j-1)] f(k,j)
と書いても同じことです。(〜●の部分は●をΣ記号の上に書くものだと思ってください。)
しかし、ナンデ馴染みのない書き方を使ったのか。それはおそらく:
最初の式をSとして、これを素直に展開すれば、
S = Σ[k=1〜n] (Σ[j=1〜n] a[k]/a[j] )
ですが、これを集合を使って書くこともできる。すなわち
U = {(x,y)| 1≦x≦n ∧ 1≦y≦n}
とすると、
S = Σ[(k,j)∈U] a[k]/a[j]
である。ここでUの右辺について、(x,y)を平面上の点の座標だと思えば、n²個の格子点が正方形に並んでいるのが集合Uです。また、
A = {(x,x)| 1≦x≦n}
とすると、AはUの対角線上に並んでいる点たちの集合で、UからAを取り除くと二つの三角形に並んだ点たちが残ります。三角形に並んでいるやつの一方を
B = {(x,y)|1≦x<y≦n}
とし、他方の三角形になってるやつを
C = {(y,x)|1≦x<y≦n}
とします。するともちろん、A, B, CはUを重複なしに分割したものになっており、すなわち
U = A∪B∪C
A∩B = B∩C = C∩A = ∅
です。なので、
S = (Σ[(k,j)∈A] a[k]/a[j]) + (Σ[(k,j)∈B] a[k]/a[j]) + (Σ[(k,j)∈C] a[k]/a[j])
さて明らかに、対角線について線対称の位置にある点同士に
(k,j)∈C ⇔ (j,k)∈B
という関係がある。ですから、
Σ[(k,j)∈C] a[k]/a[j] = Σ[(j,k)∈B] a[k]/a[j]
ここで、右辺にあるj,kの記号を入れ替えれば
Σ[(k,j)∈C] a[k]/a[j] = Σ[(k,j)∈B] a[j]/a[k]
である。また、明らかに
(k,j)∈A ⇔ (k=j ∧ 1≦k≦n)
なので
Σ[(k,j)∈A] a[k]/a[j] = Σ[k=1〜n] a[k]/a[k] = Σ[k=1~n]1 = n
である。以上から、
S = n + (Σ[(k,j)∈B] a[k]/a[j]) + (Σ[(k,j)∈B] a[j]/a[k])
= n + Σ[(k,j)∈B]( a[k]/a[j] + a[j]/a[k] )
= n + Σ[1≦k<j≦n]( a[k]/a[j] + a[j]/a[k] )
となり、これが2つ目の式です。
というわけで、ナンデ馴染みのない書き方を使ったか。それは「(和を取る順番はどうでもいいんだから、順番を気にしないでただ)(x,y)∈Uであるn²個の点(x,y)についての総和」という風に捉えた方がカンガエヤスイために、この書き方が却って自然だった、ということでありましょう。
> なぜnC2通り
1≦k<j≦n
を満たす(k,j)は何通りあるか。もちろん、上記の三角形に並んだ点たちの集合Bの要素の数と同じであり、なのでn(n-1)/2個の格子点が入っている。ですが、これはまた
「{1,2,....,n} の中から相異なる二つの値を選び、小さい方をk,大き方をjとする。(k,j)は何通りあるか」
というのとも同じことで、だからnC2通り。
No.4
- 回答日時:
ああ、その Σ 記号の意味ですか?
1 ≦ k < j ≦ n を満たす整数 j, k のすべての組み合わせについて総和する
という意味でしょう。
1 以上 n 以下の整数から 2個選ぶ組み合わせの各々に対応して
k < j から k, j が決まりますから、
2Σ1 の値は 2・(1 以上 n 以下の整数から 2個選ぶ組み合わせの個数)
になります。それは、=2・nC2 ですよね。
No.3
- 回答日時:
1≦k<j≦n を満たす整数k、jの組み合わせはnC2個になります。
例、n=4、(k,j)=(1、2)、(1、3)、(1、4)、(2、3)、(2、4)、(3、4) 計6個=4C2
並べられたn個の中から、k番目とj番目をk<jとなるように選ぶ選び方の数は
n個の中から順番を考えずに2個取り出すとリ出し方の数と同じです。
No.1
- 回答日時:
まずは、1/a(i) = b(i) として、多項式の展開をする場合には
(a1 + a2 + a3 + ・・・ + a(n))(b1 + b2 + b3 + ・・・ + b(n))
= a1(b1 + b2 + b3 + ・・・ + b(n)) + a2(b1 + b2 + b3 + ・・・ + b(n)) + a3(b1 + b2 + b3 + ・・・ + b(n)) + ・・・ + a(n)(b1 + b2 + b3 + ・・・ + b(n))
となるのは分かりますね?
この中で、1/a(i) = b(i) なので
①同じ i のときだけ a(i)b(i) = 1 → これを i=1~n を足し合わせるので、式の2行目の「1 + 1+ ・・・ + 1」になります。
②残りは j≠k として a(j)b(k) を 1~n まで足し合わせたものになります。
これは j=1~n、k=1~n なので、同じものが2回ずつ出てきます。
従って
2Σ[j,k=1~n, j≠k]{a(j)b(k)}
つまり
2Σ[j,k=1~n, j≠k]{a(j)/a(k)}
と書けます。
でも、これ「j≠k」という条件を付けるので、何となくわかりにくいですよね。
この「2倍」というのは、
・j>k のときの a(j)/a(k)
と
・j<k のときの a(j)/a(k)
を足し合わせるという意味です。
それはさらに、
・j>k のときの a(j)/a(k) と a(k)/a(j) を足し合わせる
というのと同じですね。
それが、画像の Σ の式になることが分かりますか?
カッコの中の説明は、かえって分かりにくいですね。
「a(j)/a(k) と a(k)/a(j)」
ということで「n の中から j と k を選び出す選び方」という意味なのでしょうね。
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