フーリエの積分定理の ω について質問です． これは周期、角振動数どっちですか？ また、 ω は正負

フーリエの積分定理の ω について質問です． これは周期、角振動数どっちですか？
また、 ω は正負どちらですか？ 基本的に正だと思うのですが、負を考える場合どのようなときですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/26 15:24

指数としてナニカ（この場合はe）の肩に乗っかっているモノには単位があってはダメなんだ、と知っておくと良いでしょう。

単位がない数値、すなわち無次元でなくちゃいけない。この大原則は、フーリエ変換においてももちろん要請されます。で、

> 周期、角振動数どっち

そういう話が出るってことは、tを時間だと解釈しているということですよね。すると、(ωt)が無次元数になるためには、ωは時間の逆数の次元を持っていなくてはならんわけです。一方、周期は時間の次元を持っている。だから、ωが周期なわけがないのは明らか。ω/(2π)が周波数[Hz]、ωは角周波数[radian/s]です。
もちろん、応用によってはtの単位がメートル[m]だということもある。その場合、ω/(2π)は空間周波数[lp/m](line pair per meter)と呼ばれたりします。

> ω は正負どちらですか？基本的に正だと思う

「基本的に」というのがどういう意味なのかは分かりませんけど、f(t)が実数値関数だという話ですと、F(ω) + F(-ω) が角周波数ωのcosine成分の振幅、F(ω) - F(-ω) が角周波数ωのsine成分の振幅を表しています。だから、正負両方が必要です。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/26 14:47

この質問は、「クジラのヒレは脚か？」という質問に似ています。

答える人の考え方によって、
歩くはおろか水中でも立つこともできない器官を脚とは呼ばない
という立場もあるだろうし、
進化の過程で脚から変化した器官で、同じ原基から発生し
運動器であることも同じ。あれは脚の一種だ
という立場もあるでしょう。
違いは、「脚」という言葉を拡大解釈するか否かです。

フーリエ変換の「角周波数」も同様です。
実フーリエ級数のときには当に初等物理での意味通りの
角周波数であったものが、フーリエ変換に移行する際に
似て非なるものに変わった。それを
狭義の角周波数ではない という立場も、
広義の角周波数である という立場もあり得るわけです。

ω<0 であっても F(ω)≠0 になり得ることが
「角周波数」の性質として認め得るかどうか、
人によって、考え方は違うのではないでしょうか。

No.1 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2024/08/26 05:17

フーリエ変換（フーリエ積分）の角周波数ωは正負ペアで考える。

　負の角周波数に物理的意味はないが、実関数f(t)で表される音声信号などを複素数で処理すると数学的な取り扱いが便利だというのがその理由。

　フーリエ解析の本は通常

　　実フーリエ級数→複素フーリエ級数→フーリエ変換

の順で説明される。実フーリエ級数から複素フーリエ級数を導出する過程を丁寧に読めば「角周波数ωを正負ペアで考える」ことの意味がわかるだろう。