高校数学です。 m^2-11m-1が整数の平方となるような正の整数mを求めよという問題で、回答はこの

高校数学です。
m^2-11m-1が整数の平方となるような正の整数mを求めよという問題で、回答はこの式をn^2と置いていました、ここまでは私もそうしました。しかし、このnをゼロ以上の整数と置いていたのですが、そこが疑問です。
回答通りにすれば確かにゼロ以上にしないと後の方で不等式が立てられないのですが、この式が「整数の平方となる」と書いているのでnはマイナスの場合もあるくないですか？
それを正の整数と決めていいのでしょうか？
どなたか教えていただけると助かります。

質問者からの補足コメント

• ちょっと補足します、正の解と決めてしまうとマイナスの解がもしあった場合、それが解答として出てこないようになるのではと思いました、説明が下手ですみません。

    補足日時：2024/09/08 23:12

No.8 回答者： kairou 回答日時： 2024/09/13 19:48

＞正の解と決めてしまうとマイナスの解がもしあった場合、それが解答として出てこないようになるのではと思いました

それは 違うでしょ。
n²=(-n)² ですから、
n>0 だけを考えれば 充分です。

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/09 21:32

m^2-11m-1=n^2･･･①から

(2m-11+2n)(2m-11-2n)=125＝5^3･･･②
ｎ＜0の場合を考えると
①の左辺はｍ＝0のときもｍ＝6のときも＜0だから
①の左辺が＞0であるためには正の整数ｍは＞6が必要。
すると②で2m-11-2n＞0であるから2m-11+2nも＞0、
そして2m-11+2n＜2m-11-2nだから②から
2m-11+2n＝1、2m-11-2n＝125･･･③
か
2m-11+2n＝5、、2m-11-2n＝25･･･④　が出てくる。
③からｍ＝37、ｎ＝-31
④からｍ＝13、ｎ＝-5
結局ｎ＞0とした場合とｍの結果は同じです。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2024/09/09 14:26

＞この式が「整数の平方となる」と書いているのでnはマイナスの場合もある

その通りですが、(-n)²=n² ですから、n≧0 で考えれば 充分ですよね。
勿論 n<0 の場合が有っても それは答えには影響しませんよね。
求めるのは m の値ですから。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/09 13:45

m^2-11m-1=n^2

(m-11/2)^2-11^2/4-1=n^2
(m-11/2)^2-121/4-4/4=n^2
(m-11/2)^2-125/4=n^2
(2m-11)^2-125=4n^2
(2m-11)^2=125+4n^2
(2m-11)^2-4n^2=125
(2m-11+2n)(2m-11-2n)=125

{2(m+n)-11}{2(m-n)-11}=125=5^3

2(m+n)-11<0と仮定すると
2(m+n)-11=-5^k
2(m-n)-11=-5^(3-k)
0≦k≦3となる整数kがある
2(m+n)=11-5^k
2(m-n)=11-5^(3-k)
4m=22-5^k-5^(3-k)
k=0のとき4m=22-1-125=-104<0となってm>0に矛盾
k=1のとき4m=22-5-25=-8<0となってm>0に矛盾
k=2のとき4m=22-25-5=-8<0となってm>0に矛盾
k=3のとき4m=22-125-1=-104<0となってm>0に矛盾
だから
2(m+n)-11>0
2(m-n)-11>0
2(m-n)-11=5^k
2(m+n)-11=5^(3-k)
0≦k≦3となる整数kがある

k=0のとき
2(m-n)-11=1
2(m+n)-11=125
2(m-n)=12
2(m+n)=136
m-n=6
m+n=68
2m=74
m=37
37-n=6
31=n
∴
m=37

k=1のとき
2(m-n)-11=5
2(m+n)-11=25
2(m-n)=16
2(m+n)=36
m-n=8
m+n=18
2m=36
m=18
18-n=8
10=n
∴
m=18

k=2のとき
2(m-n)-11=25
2(m+n)-11=5
2(m-n)=36
2(m+n)=16
m-n=18
m+n=8
2m=36
m=18
18+n=8
n=-10←(nはマイナスの場合もある)
∴
m=18

k=3のとき
2(m-n)-11=125
2(m+n)-11=1
2(m-n)=136
2(m+n)=12
m-n=68
m+n=6
2m=74
m=37
37+n=6
n=-31←(nはマイナスの場合もある)
∴
m=37

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/09 06:06

m^2-11m-1=n^2

(m-11/2)^2-125/4=n^2
(2m-11)-2-125=4n^2
(2m-11)^2=125+4n^2
(2m-11)^2-4n^2=125
(2m-11+2n)(2m-11-2n)=125

{2(m+n)-11}{2(m-n)-11}=125

2(m-n)-11=1,2(m+n)-11=125 のとき

2(m-n)=12
2(m+n)=136
m-n=6
m+n=68
2m=74
m=37
37-n=6
31=n
∴
m=37

2(m-n)-11=5,2(m+n)-11=25 のとき

2(m-n)=16
2(m+n)=36
m-n=8
m+n=18
2m=36
m=18
18-n=8
10=n
∴
m=18

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/09 01:01

「あるくない」という日本語の意味が謎ですが, n^2 = (-n)^2 だから n が負になるとしても -n という正の値を考えれ

ばいいのでなんら問題ではない.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/08 23:15

(m,n) が解なら常に (m,±n) が解になるので、

n ≧ 0 の解だけ先に求めても、特に問題ないよね。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/08 22:55

m^2 - 11m - 1 = n^2 に整数解 m, n があるのなら、

｜n｜ = N と置けば、
m^2 - 11m - 1 = N^2, N ≧ 0 でもあります。
マイナスの解があるかないかじゃなく、
非負の解が存在するって話なんですよ。