数IIの問題です。例題6（2）がわかりません。証明の（1）よりからがわかりません

Question

yhr2 · Accepted Answer

No.1&2 です。
おそらく、画像の下の解説にも書いてあると思うのですが、
(1) の式に代入できることを確認するために

|xy| < 1、|z| < 1 であるから

ということを (2) の最初で述べています。
これによって
　(1) 式の「x」を「xy」に置き換え
　(1) 式の「y」を「z」に置き換え
ということが可能になります。

念のため。

さらにもう一言。
「証明せよ」というものが並んでいるときに、「後ろの証明に、前で証明した式を使う」というのは、出題者がよく考えることです。
この場合もそうなっています。
「出題者の考えそうなことを見破る」というのも、問題を解く上でのヒントになります。

mtrajcp · Answer

|x|<1,|y|<1,|z|<1

とする
(1)|x|<1,|y|<1 のとき xy+1>x+y
↓xをXに,yをYに置き換えると
(1')|X|<1,|Y|<1 のとき XY+1>X+Y
X=xy
Y=z
とすると
|X|=|xy|=|x||y|<1
|Y|=|z|<1 だから
(1')(|X|<1,|Y|<1 のとき XY+1>X+Y)より
XY+1>X+Y
↓X=xy,Y=zだから
xyz+1>xy+z
↓両辺に1を加えると
xyz+2>xy+z+1
↓xy+z+1=xy+1+z だから
xyz+2>xy+1+z

(1)(|x|<1,|y|<1 のとき xy+1>x+y)より
xy+1>x+y
↓両辺にzを加えると
xy+1+z>x+y+z
↓xyz+2>xy+1+z とこれから
∴
xyz+2>x+y+z

yhr2 · Answer

No.1 です。ちょっと式番号に混乱があったので、全面的に書き直したものを再掲します。（最初 (2) を説明して、あとから (1) の説明を追加したので、ちょっと式番号の訂正ミスがありました）＊＊＊＊＊＊＊（以下、訂正後）＊＊＊＊＊＊＊ (1) の不等式を証明したければ　左辺 - 右辺 > 0 を証明すればよいです。つまり　(xy + 1) - (x + y)　　　　① が「正である」ことを示せばよい。 ①は　　　　　　　　　　　　　　　←ここを修正　(xy + 1) - (x + y) = xy - x - y + 1 = x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1)　　　　② と因数分解できて　|x|<1 だから -1 0 つまり①は　(xy + 1) - (x + y) > 0 従って　　xy + 1 > x + y　　　　③ （証明終わり）その上で、(2) では「(1)で証明した式」を使って証明する。 (1)で証明した　xy + 1 > x + y　　　③ を、x→xy、y→z と書き直せば　(xy)z + 1 > xy + z　　　④ になるのはよいですか？この④の両辺に + 1 をすれば　　　　　　　　　　　←ここを修正　xyz + 2 > xy + z + 1　　　　⑤ 同様に、③式の両辺に + z をすれば　xy + z + 1 > x + y + z　　　⑥ ⑤の右辺と⑥の左辺が等しいから　xyz + 2 > xy + z + 1 > x + y + z この最左辺と最右辺が証明する不等式です。＊＊＊＊＊＊（訂正終わり）＊＊＊＊＊＊＊

yhr2 · Answer

＞証明の（1）よりからがわかりませんということは「(2) が分からない」んじゃなくて「全部わからない」ということでしょ？ (1) の不等式を証明したければ　左辺 - 右辺 > 0 を証明すればよいです。つまり　(xy + 1) - (x + y)　　　　① が「正である」ことを示せばよい。 ①を「左辺 - 右辺」に変形すれば　(xy + 1) - (x + y) = xy - x - y + 1 = x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1)　　　　② と因数分解できて　|x|<1 だから -1 0 つまり①は　(xy + 1) - (x + y) > 0 従って　　xy + 1 > x + y　　　　③ （証明終わり）その上で、(2) では「(1)で証明した式」を使って証明する。 (1)で証明した　xy + 1 > x + y　　　③ を、x→xy、y→z と書き直せば　(xy)z + 1 > xy + z　　　④ になるのはよいですか？この②の両辺に + 1 をすれば　xyz + 2 > xy + z + 1　　　　⑤ 同様に、③式の両辺に + z をすれば　xy + z + 1 > x + y + z　　　⑥ ⑤の右辺と⑥の左辺が等しいから　xyz + 2 > xy + z + 1 > x + y + z この最左辺と最右辺が証明する不等式です。どうしてこんな方法を思いつくか？経験と勘、というよりは「どうやったら解けるか」をジタバタと考えて試行錯誤してみることでしょうね。「数学」って、公式にあてはめてスパッと一発で解くものではなくて、どうやったら解けるかをいろいろ試してみて、「こうやったら解ける」という方法を探し出すドンくさいものなのですよ。数多くやってみれば、だんだんとコツがわかってくることが多いです。もちろん、ある程度の「センス」も必要です。

数IIの問題です。例題6（2）がわかりません。証明の（1）よりからがわかりません

No.1&2 です。

|x|<1,|y|<1,|z|<1

No.1 です。

＞証明の（1）よりからがわかりません

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