グレゴリー級数の首足に関して・・・

1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+x^8-・・・
は、ｘが１未満で収束します。
しかし、その積分で得られた、
ｔａｎー１（１）＝π／４=1-1/3+1/5-1/7+1/9-・・・
はｘ＝１でも収束します！

どうしてですか？

質問者からの補足コメント

• 

  あざっす！

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/02/15 12:25

• 

  アザッス！

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/02/15 12:26

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/12 12:02

ちな、tan(有名角) = (冪級数へ代入しやすい値) になる例はあまんまりなく、

No.2 書いたような「工夫」の余地は多くありません。
その代わりに開発されたのが arctanα - arctanβ 型の公式たちです。
β = α - π/4 とすると、 tan の加法定理から
tanβ = tan(α - π/4) = (tanα - 1)/(1 + tanα) となります。
例えば tanα = 1/3 なら、 tanβ = -1/2 です。これを使って
π/4 = arctan(1/3) - arctan(-1/2) = arctan(1/3) + arctan(1/2) です。
右辺の arctan をグレゴリー級数の有限項近似で近似することができます。
これに類する公式は、非常に多くのものが考案され。
最近まで、コンピュータで円周率の近似値を計算するときの標準的な技法でした。

この回答へのお礼

マチンもそうですね・・・

お礼日時：2025/02/12 21:20

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/09 21:26

例えば

関数
f(x)=1/√x
は
x→0のとき
lim[x→0]1/√x=∞
に
発散するけれども
その広義積分
∫[0～1](1/√x)dx=[2√x][0～1]=2
は
収束します
だから
元の関数が収束しなくても
その積分で得られたものが収束することもあるのです

この回答へのお礼

なるほど・・・

お礼日時：2025/02/09 22:48

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/09 21:04

1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+x^8-…+(-1)^{n-1}x^{2n}+…

は
x=1のとき
左辺は
1/2 になるけれども
右辺は
一般項(-1)^{n-1}は1と-1の間を振動するから
1と0の間を振動発散するから
x=1のとき
等式は成立しません

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-…+(-1)^{n-1}/(2n-1)+…
の
右辺は
一般項
lim[n→∞](-1)^{n-1}/(2n-1)=0に収束し
交項級数だから収束します

元の関数が収束しなくても
その積分で得られたものが収束することもあるのです

この回答へのお礼

＞元の関数が収束しなくても
その積分で得られたものが収束することもあるのです
ーー＞
なるへそ・・・

お礼日時：2025/02/09 22:47

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/09 20:34

冪級数は、収束円内で広義一様絶対収束し、

収束円外では発散することが知られているが、
収束円周上での収束/発散については、
各 x について個別に考えるしかない。

グレゴリー級数については、「交代級数定理」が使える。
実数列 a(n) が広義単調減少で 0 へ収束するならば、
Σ[n=0→∞] (-1)^n a(n) は収束する。 証明はこちら↓
https://mathlandscape.com/alter-series-convergen …

収束性が証明されてしまえば、
その極限の値を求める方法はいろいろあるものだ。

冪級数の収束円周上の点については、
アーベルの連続性定理が有名ではある。
f(x) = Σ[n=0→∞] c(n) x^n の収束半径が R、
かつ Σ[n=0→∞] c(n) R^n が収束するならば、
Σ[n=0→∞] c(n) R^n = lim[x→R] f(x) が成り立つ。
(この定理は lim[x→R] f(x) が収束するだけでは成り立たないので、
事前に Σ[n=0→∞] c(n) R^n が収束することを確認する必要がある。)

ただし、収束円周上の冪級数は、収束したとしても
その収束が非常に遅いため、級数を使って何かの近似値を求めるのには
実用上役に立たない場合が多い。
arctan(x) のマクローリン展開を利用して π を計算するのなら、
x = 1 ではなく、 x = 1/√3 を使うとか、少し工夫したほうがいい。

この回答へのお礼

なるへそ・・・
アザッスです！！！

お礼日時：2025/02/09 22:16

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/02/09 19:47

「x が 1 未満で収束する」ことは「x=1 で収束する」ことを否定しない.

なお正確にいうと「x が 1 未満で収束する」というわけでもない.

この回答へのお礼

お礼日時：2025/02/09 21:51