2025.1.3 20:14にした質問の 「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2]

2025.1.3 20:14にした質問の


「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？」


に対して、

2025.1.5 12:16にありものがたり様から


「質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
になっている。だから、

Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」


と解答を頂きました。


なぜ質問の「この方法」が、
一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つときRes[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したものだとわかったのでしょうか？

どうか質問の「この方法」が、
一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つときRes[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したものだとわかった理由をどうかわかりやすく教えて下さい。


また、載せた画像の赤い下線部のa(-1)の値は0でしょうか？

載せた画像は2025.1.3 20:14に質問した2025.1.5 19:47のmtrajcp様の解答に載せて頂いた画像です。


どうかよろしくお願い致します。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/26 10:42

g(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開した式は画像の通り

g(z)
=
(z-π/2)tan(z)
=
a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

だから
(z-π/2)の項

a(0)(z-π/2)

の係数は
a(0)

一方
a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
で
n=0とすると

a(0)=res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
だから

g(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開した式の(z-π/2)の係数は
a(0)=res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
である

1行目
a(n) = 1/(n+1)! lim[z→π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)]
で
n=-1とすると

a(-1)
=lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)
=lim[z→π/2](z-π/2)sin(z)/cos(z)
=lim[z→π/2]-(z-π/2)cos(z-π/2)/sin(z-π/2)
=-1

∴
a(-1)=-1

No.3 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2025/02/25 22:57

以下の膨大な資料ががとても参考になると思います。

tan のローラン展開に関するすべての疑問が雲散霧消することでしょう。

http://def-store.com/upload/upload.cgi?get=00126

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/25 18:44

もう、tan のローラン展開に関する質問には、回答しません。

今回御質問の点も、以前の質問のとき既に説明済です。
何度同じことを...

この回答へのお礼

申し訳ありません。

どうか最後のチャンスとして、
2025.1.3 20:14にした質問のいつのありものがたり様の解答のどこに

質問の「この方法」が、
一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つときRes[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したものだと判明した理由が書いてあるのか詳しく教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/02/26 17:16

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/25 16:15

1行目

a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)]
は
a(n)=
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
だから
tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の留数
Res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2) を求める式である

「
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
から

g(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開した式の(z-π/2)の係数は

a(0)=res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
だから
tan(z)/(z-π/2)
の留数
Res(tan(z)/(z-π/2),π/2) を求める式であるから

Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。
けれども
Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算としても正しくない

どちらも正しくない

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> g(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開した式の(z-π/2)の係数は

a(0)=res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
だから
tan(z)/(z-π/2)
の留数
Res(tan(z)/(z-π/2),π/2) を求める式であるから



に関して、質問があります。
なぜg(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開した式の(z-π/2)の係数はa(0)=res(tan(z)/(z-π/2),π/2)なのでしょうか？

どうかわかりやすく説明して頂けないでしょうか。


また、質問に載せた画像の赤い下線部のa(-1)の値は0でしょうか？


どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/02/26 07:53