2024.8.31 00:04にした質問の 2024.9.3 16:48にmtrajcp様から頂いた

2024.8.31 00:04にした質問の
2024.9.3 16:48にmtrajcp様から頂いた解答について、質問があります。


以下は2024.9.3 16:48にmtrajcp様から頂いた解答です。


>> res(g(z),π/2)={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)の積分の式
と
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)})の微分の式から
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)})の式を導いたのではありません
間違いです

a(n)=res(g(z),π/2)={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)の積分の式
から
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)})の式を導いたのではありません
間違いです
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0<r=|z-c|<R でf(z)が正則のとき
f(z)の0<|z-c|<Rでのローラン展開

f(z)=Σ[m=-∞～∞]a(m)(z-c)^m

↓両辺を(z-c)^(n+1)で割ると

f(z)/(z-c)^(n+1)=Σ[m=-∞～∞]a(m)(z-c)^(m-n-1)

f(z)/(z-c)^(n+1)=a(n)/(z-c)+Σ[m≠n]a(m)(z-c)^(m-n-1)

↓両辺を{|z-c|=r}で積分すると

∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=a(n)∫{|z-c|=r}{1/(z-c)}dz+Σ[m≠n]a(m)∫{|z-c|=r}(z-c)^(m-n-1)dz

↓m≠nのとき∫{|z-c|=r}(z-c)^(m-n-1)dz=0 だから

∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=a(n)∫{|z-c|=r}{1/(z-c)}dz

↓∫{|z-c|=r}{1/(z-c)}dz=2πi だから

∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=2πia(n)

↓両辺を2πiで割ると

{1/(2πi)}∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=a(n)

↓左右をいれかえると

a(n)={1/(2πi)}∫{|z-c|=r]{f(z)/(z-c)^(n+1)}dz
c=π/2,,g(z)=f(z)/(z-c)^(n+1) ,f(z)=tan(z) とすると

a(n)=res(g(z),π/2)…(1)

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f(z)=
tan(z)=Σ[m=-1～∞]a(m)(z-π/2)^m
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ[m=-1～∞]a(m)(z-π/2)^(m+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→π/2とすると
lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=a(n)
↓左右をいれかえると
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
↓これと(1)から


res(g(z),π/2)=a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}



の
「0<r=|z-c|<R でf(z)が正則のとき
f(z)の0<|z-c|<Rでのローラン展開

f(z)=Σ[m=-∞～∞]a(m)(z-c)^m」

において、

f(z)のローラン展開とは、

f(z)が正則にならない様な分母が0になるような極となる特異点の周りの点を使って展開する近似式だと思うのですが、

なぜ、極となる特異点を持たない正則のf(z)に関してf(z)のローラン展開f(z)=Σ[m=-∞～∞]a(m)(z-c)^mを作れたのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/24 10:54

f(z)　が　z=c で正則だとしても

f(z)=Σ[m=0～∞]a(m)(z-c)^m

m≧0 のとき

g(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)

は　z=c で　m+1≧1位の極(特異点)を持つ(正則でない)から

a(m)=res(g(z),c)={1/(2πi)}∫{f(z)/(z-c)^(m+1)}dz

となる

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。

お礼日時：2025/03/03 12:17