mx-y-m-1=0,x+my-2m-3=0の交点Pの軌跡 図形と方程式 高校数学

mは実数とする。xy平面上の2直線 mx-y-m-1=0,x+my-2m-3=0 の交点をPとする。mがすべての正の実数値をとって変化するとき、点Pの軌跡を求め、図示せよ

という問題の点Pについてなのですが、
x+my-2m-3=0よりm=(-x+3)/(y-2)でm≠0なのでx≠3、y≠2(正確にはm>0より x<3かつy>2、又はx>3かつy<2)で点(3,2)は通らないと思ったのですが、検算をしてみると、

(x,y)=(3,2)のとき
3m-2-m-1=0
m=3/2 (>0)
3+2m-2m-3=0 任意のmで成り立つ。

となりました。

回答を見るとやはり検算した方が正しく、点(3,2)は通るそうです。
最初に述べた(3,2)は通らないという結果になってしまった考え方がなぜどこがおかしいのかが分かりません。どなたか教えて下さい。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/28 10:32

>m=(-x+3)/(y-2)でm≠0なのでx≠3、y≠2

mがx,yから求まらないから、そのx,yが存在しない
ということには全然なりません。発想が変。

x=3, y=2 の時 m は不定（なんでもいい）というだけです。

式変形ではゼロ割の解釈に注意しましょう。
元の式に y≠2 なんて仮定は含まれません。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2025/03/24 20:03

x+my-2m-3=0より　ｍ（ｙ－２）＝３－ｘ

ここまでは正しくOKですが　ここからは場合分けになりますね
y＝2　でない場合
m=(-x+3)/(y-2)
ｙ＝２の場合は　ｍ　の値に拘わらず　x=3 という恒等式になります
つまり　(3,2) は必ず通ることになります。
　　簡単な例ですと　y=mx の場合　ｘ＝０でなければ　ｍ＝ｙ/ｘ
x＝０　ならば　ｍの値に拘わらずに　y＝０となり　（0,0）は必ず通ります

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/20 16:57

x+my-2m-3=0 を m=(-x+3)/(y-2) に変形するとき y≠2 という前提が必要だった。

x+my-2m-3=0　⇔
　　( y≠2 かつ m=(-x+3)/(y-2) ) または
　　( y=2 かつ x-3=0 )
となる。

「または ( y=2 かつ x-3=0 )」 の存在を忘れたのが間違い。

この回答へのお礼

なるほど！！すっきりしました！ありがとうございます

お礼日時：2025/03/20 16:59