写真は多変数関数についての「連続微分可能ならば全微分可能である｣という命題(定理)の証明を記したもの

写真は多変数関数についての「連続微分可能ならば全微分可能である｣という命題(定理)の証明を記したものですが、
赤線部の式において、o(|(h,k)|がどこから出てきたのか、つまりどのように計算すれば
lim(h,k)→0
{f(a+h,b+k)-f(a,b)+hfx(a,b)+kfy(a,b)}/√(h²+k²)=0
という形にできるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/04/24 16:50

r=√(h²+k²) (=|h,k|のことらしい)とする。

　|f(a+h,b+k)-f(a,b)-hfx(a,b)-kfy(a,b)|/r
　　=|{fx(a',b)-fx(a,b)}h+{fy(a+h,b')-fy(a,b)}k|/r
　　≦|fx(a',b)-fx(a,b)||h|/r+|fy(a+h,b')-fy(a,b)||k|/r
　　≦|fx(a',b)-fx(a,b)|+|fy(a+h,b')-fy(a,b)|・・・(|h|,|k|≦rだから)
fx,fyは連続だから、r → 0 で、
　a' → a, a+h → a, b' → b
だから、上式の右辺は
→ 0
となる。

すると o()の定義から、上式は
　f(a+h,b+k)-f(a,b)-hfx(a,b)-kfy(a,b)=o(r)
となる。

つまり
　f(a+h,b+k)=f(a,b)+hfx(a,b)+kfy(a,b)+o(r)
となる。

ちなみに、一変数のときだけれど、g(x)≠0 のとき
　f(x)/g(x) → 0 (x → a, x≠a)
を
　f(x)=o(g(x))
と定義する。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
最初の式に絶対値をつけているのはなぜですか？

お礼日時：2025/04/25 01:06

No.10 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/04/25 16:34

はずかしーぃぃ

この回答へのお礼

お礼日時：2025/04/25 17:32

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/25 08:56

No.8 は No.7 をラフに書き換えたものだが、いずれにせよ、

ランダウの記号は、o(h) + k o(1) + o(k) = o(|(h,k)|) の計算を
「自明」で済ませられるくらい「お互い解ってるよね？」な文脈でないと、
切れ味がない。
杜撰っちゃあ杜撰というか、杜撰であることに値打ちがある。

この回答へのお礼

お礼日時：2025/04/25 17:32

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/04/25 08:37

o記号のみの証明を考えた。

　f(a+h,b+k)-f(a,b)-hfx(a,b)=kfy(a+h,b)+o(h)+o(k)
ここで、fyは連続だから
　fy(a+h,b)-fy(a,b)=o(1)　(h → 0のとき、o(1) → 0)
だから
　f(a+h,b+k)-f(a,b)-hfx(a,b)-kfy(a,b)=ko(1)+o(h)+o(k)
ここで、
　|h|,|k|≦r
であり、r → 0 のとき、h,k → 0
だから
　|ko(1)/r|≦|ko(1)/k|=|o(1)| → 0
　|o(h)/r|≦|o(h)/h| → 0
　|o(k)/r|≦|o(k)/k| → 0
なので
　{ko(1)+o(h)+o(k)}/r → 0
したがって、
　ko(1)+o(h)+o(k)=o(r)


もう終わりな独り言
少し前、杜撰なところのあるランダウヂャンと思っていたら、数学者のほうだった。こんなきっちりした定義があるとは衝撃だった。

でも慣れないよ。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/25 08:36

＞ f(a+h,b) = f(a,b) + o(h).

＞ ●なりません。

あ、ほんとだ。ならないね。
f(a+h,b) = f(a,b) + o(1),
fy(a+h,b) = fy(a,b) + o(1).
なんだけど、こう書くためには
o( ) の説明を
o(g(x)) というのは、 lim[x→c] f(x)/g(x) = 0 となるような f(x) の総称
としておかなけりゃならない。
こっちのほうが一般的なんだけど、 x→c を明示しない記法
であることを回避したかった。
それで間違ってちゃしょうがないけどね。

ちゃんとやりなおすと...
一変数の平均値定理から
f(a+h,b) = f(a,b) + h fx(a,b) + o(h),
f(a+h,b+k) = f(a+h,b) + k fy(a+h,b) + o(k).　
fy は連続と仮定したので
fy(a+h,b) = fy(a,b) + o(1).
代入整理して、
f(a+h,b+k) = f(a,b) + h fx(a,b) + k fy(a,b) + { o(h) + k o(1) + o(k) }.

あとは、 o(h) + k o(1) + o(k) = o(|(h,k)|) をしめせばいい。
それには 各 o( ) を総称でなく具体的な関数名にして、
lim[h→0] O1(h)/h = 0,　…[1]
lim[h→0] O2(h,k) = 0,　…[2]
lim[k→0] O3(h)/k = 0　…[3]
のとき
lim[|(h,k)|→0] { O1(h) + k O2(h,k) + O3(h) } / |(h,k)| = 0　…[4]
を示せばよいことになる。

lim[|(h,k)|→0] { O1(h) + k O2(h,k) + O3(h) } / |(h,k)|
=　lim[|(h,k)|→0] O1(h)/|(h,k)|
　+ lim[|(h,k)|→0] k O2(h,k)/|(h,k)|
　+ lim[|(h,k)|→0] O3(h)/|(h,k)|,
=　lim[h→0,k→0] { O1(h)/h }{ h/|(h,k)| }
　+ lim[h→0,k→0] { O2(h,k) }{ k/|(h,k)| }
　+ lim[h→0,k→0] { O3(h)/h }{ h/|(h,k)| }

(h,k) = r (cosθ,sinθ) と置けば解るように
h/|(h,k)|, k/|(h,k)| は有界だから、
[1][2][3] より [4] が計算できた。

せっかくランダウの記号を使ったのに、あまりスッキリ感がないかな。
o( ) どうしの計算を「自明」ですませられないと、ありがたみはない。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/04/25 01:40

h,kの±を考えると面倒そう・・・

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/04/25 01:38

>ｆ が x で偏微分可能なら、x について連続だから

f(a+h,b) = f(a,b) + o(h).<

●なりません。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/24 19:33

どうせなら、ランダウの記号一本で行ったら？

o(x) というのは、 lim[x→0] f(x)/x = 0 となるような f(x) の総称。

この記号を使って、一変数の平均値定理は
f(a+h) = f(a) + h f’(a) + o(h)
となる。

これを f(x,y) の x, y にあてはめれば、それぞれ
f(a+h,b) = f(a+h,b) + h fx(a,b) + o(h),
f(a+h,b+k) = f(a+h,b) + k fy(a+h,b) + o(k)
と書ける。(引用の式どおり。)

ｆ が x で偏微分可能なら、x について連続だから
f(a+h,b) = f(a,b) + o(h).

ｆ は連続微分可能と仮定したから、ｆｙ は連続であり、
fy(a+h,b) = fy(a,b) + o(h)
でもある。

以上を代入してまとめると、
f(a+h,b+k) = f(a,b) + h fx(a,b) + k fy(a,b) + { o(h) + o(h) + k o(h) + o(k) }
となる。

あとは、 o(h) + o(h) + k o(h) + o(k) = o(|(h,k)|) を示せばいい。　…[＊]

まず、 o(h) + o(h) + k o(h) = o(h).
lim[h→0] F1(h)/h = lim[h→0] F2(h)/h = lim[h→0] F3(h)/h = 0 のとき
lim[h→0] { F1(h) + F2(h) + k F3(h) }/h = 0 を示せばいいが、
これは高校範囲だよね。

次に、 o(h) + o(k) = o(|(h,k)|).
lim[h→0] F(h)/h = lim[k→0] G(k)/k = 0 のとき
lim[(h,k)→(0,0)] { F(h) + G(k) }/√(h^2+k^2) = 0 を示せばいい。
これも簡単で、
{ F(h) + G(k) }/√(h^2+k^2) = { F(h)/h } h/√(h^2+k^2) + { G(k)/k } k/√(h^2+k^2)
から従う。

ランダウの記号を使うときは、
[＊] 以降の話は自明として扱うのが普通だと思う。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
o(h) + o(h) + k o(h) = o(h).という式はなぜ成り立つのですか？

お礼日時：2025/04/25 01:08

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2025/04/24 16:56

No.1さんの回答がぼくより2分早かったぅぅぅ

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2025/04/24 16:52

fx(a’,b)＝fx(a,b)＋ε(h)としたとき

ｈ→0ならばε(h)→0、
fy(a＋h,b’)＝fy(a,b)＋ε(h、k)としたとき
h、k→0のときε(h、k)→0
したがって赤のマーカのο(|h、k|)は
＝hε(h)＋kε(h、k)になるが
|h|/√(h²+k²)≦1、|k|/√(h²+k²)≦1、なので
ο(|h、k|)/√(h²+k²)の絶対値は≦|ε(h)|＋|ε(h、k)|
ゆえに
ｈ、ｋ→0のときο(|h、k|)/√(h²+k²)→0　です。

この回答へのお礼

お礼日時：2025/04/25 17:32