方形波の高調波

方形波には３倍、５倍、７倍・・・の高調波が存在すると言われますがホントですか？
添付図の図Ａは方形波の図。オシロで見るとこのようになります。
３倍高調波は図Ｂのようになるはず。方形波の１サイクルの間に３つの凸凹があります。
でも図Ａには凸凹はありません。いったい図Ａのどの部分が３倍高調波なんでしょうか。
例えば図Ｃのように３つの凸あるいは凹があれば「高調波があるな」と納得できるのですが。

方形波はフーリエ展開できることは知っています。
　方形波 ＝ 4/π [ sin(ωt) ＋ 1/3･sin(3ωt) ＋ 1/5･sin(5ωt) ＋ 1/7･sin(ωt) ＋････]　　ですね。
式の中に 3ωt があるので３倍高調波がある、と言われるでしょうが、この式は方形波を合成する場合のものであって、分解できる事を意味していないと思うのですがどうでしょう。
最終的に各周波数成分が打ち消しあって基本波以外の周波数成分は消えてしまうのではないでしょうか。
　
もし高調波が存在するのであれば何らかの電気回路を通して３倍高調波とか５倍高調波だけを取り出すことができるはずですね。例えば３倍周波数前後だけを通過させるバンドパスフィルター(BPF)を通すことで３倍周波数を取り出せますか？
BPFはハイカットフィルター(HCF)とローカットフィルター(LCF)を組み合わせたものですね。一般にHCFを通せば立ち上り・立ち下がりが鈍りLCFを通せば水平部分がダレます。よってBPFを通せば丸っこい波形にはなるでしょうが１サイクルに３つの凸凹がある波形にはならないと思うのですが。

質問者からの補足コメント

• Excelで方形波のフーリエ級数を計算してみました。
  ↓　この式を使っています。
  方形波 ＝ 4/π･ [ sin(ωt) ＋ 1/3･sin(3ωt) ＋ 1/5･sin(5ωt) ＋ 1/7･sin(7ωt) ＋････]　
  
  添付図の青は基本はから第21次高調波までの11波の和です。
  赤は第3次高調波を除く10波の和です。
  このグラフより、第5次以上の高調波の和は第3次高調波と逆位相になる、つまり打ち消していると考えられると思います。

  
    補足日時：2025/06/17 00:39

• 方形波を Low Pass Filter に通すと添付図の図Ｅのように立上り・立下りが丸くなりますね。
  もし方形波に3次、5次、7次・・・などの高調波が含まれているのであれば高次の高調波ほど大きく減衰するはずなので、低次の高調波による凹凸が目立ってくると思うのですが、皆様はどう思われますか？
  図Fはその一例として方形波のフーリエ級数を第3次高調波まで足したグラフです。
  すなわち、
  　方形波 ＝ 4/π [ sin(ωt) ＋ 1/3･sin(3ωt) ＋ 1/5･sin(5ωt) ]　
  の計算をExcelで行なったものです。
  
  実際のLPFでこんな凹凸が生じた経験はないですし解説書などにも書かれていないと思います。因って方形波に高調波は含まれていない傍証のひとつと思います。
  言うまでもないことですがLPFは減衰振動やリンギングを生じないタイプのものです。

  
    補足日時：2025/06/23 22:57

No.2 回答者： isoworld 回答日時： 2025/06/10 22:33

図Ａの第３次高調波は図Ｂにはなりません。

図Ａの山の部分と谷の部分を１周期として、第３次高調波になります。図Ｃは完全な間違い（無茶苦茶）です。

この回答へのお礼

早速の返事をありがとうございます。

>　図Ａの山の部分と谷の部分を１周期として、第３次高調波になります。
→　この文章の意味がわかりません。
「第３次高調波は方形波の山の部分で１周期、谷の部分で１周期」という意味でしょうか？　これでは第２次高調波（２倍周波数）だと思いますが・・・


>　図Ｃは完全な間違い（無茶苦茶）
→　はい、無茶苦茶です。
質問文に書いていますが「凸か凹か３つあれば第３高調波として納得できるのだけど（無いから納得できない）」という意味で書きました。

お礼日時：2025/06/10 23:16

No.1 回答者： fba 回答日時： 2025/06/10 20:56

…このくらい理解されてるなら話が早い。

〉方形波はフーリエ展開できることは知っています。
　方形波 ＝ 4/π [ sin(ωt) ＋ 1/3･sin(3ωt) ＋ 1/5･sin(5ωt) ＋ 1/7･sin(ωt) ＋････]　　ですね。

　3倍高調波の振幅は基本波の1/3ですからね。そりゃ基本波の振幅から飛び出したりしません。

〉もし高調波が存在するのであれば何らかの電気回路を通して３倍高調波とか５倍高調波だけを取り出すことができるはずですね。例えば３倍周波数前後だけを通過させるバンドパスフィルター(BPF)を通すことで３倍周波数を取り出せますか？

　できます、というかそこら辺の無線機器で割と普通にやってます。方形波とまですると要らない高調波が出過ぎるので、水晶発振子の出力（正弦波）をわざと歪ませた上でBPFを通して…という、当にご指摘のことをやってます。普通にやると水晶発振子は20MHzくらいまでしか出せないのでそういう小細工が。

〉式の中に 3ωt があるので３倍高調波がある、と言われるでしょうが、この式は方形波を合成する場合のものであって、分解できる事を意味していないと思うのですがどうでしょう。

　この式を合成に使うのはフーリエ逆変換ですから、正弦波の高調波を然るべき比率で組み合わせれば方形波はもちろん三角波でもなんでも（数式で表現できる波形であれば）合成できます。これが可換でないとすると展開もできないのですが。

　時間軸の波形だけ見てるとそういう感想をお持ちになるかもしれませんが、周波数軸で見る（スペクトラム分析）すれば基本波以下奇数次の高調波がずらずらーっと見えてきます。

この回答へのお礼

早速の返事をありがとうございます。

無線機の話は出て来ると思っていました。
例えば、1MHzの方形波発振器の近くに無線受信機を持って来て3MHzにチューニングすればばっちり受信しますね。
小生、この3MHzは受信機が作っていると考えています。このとき受信機の同調回路は3MHzに共振していますね。ここに方形波が入ると共振回路のＱは高いですから減衰振動を生じます（中間周波増幅回路にある同調回路も共振します）。これを受信していると考えています。
別の言い方をすると方形波にに元から存在する３倍高調波を受信しているものではない、ということです。
受信機の同調回路は方形波の立ち上がりで始まる共振と立ち下がりで始まる共振は奇数次高調波では同位相です。しかし偶数次高調波では逆位相になるので共振は生じないはずです。
現実には偶数次の周波数でも受信します（少し弱いですが）。これは元の方形波のデューティーが正確に50%でないために打ち消しきれていないためと思います。
スペクトラムアナライザーはスーパーヘテロダイン受信機と動作原理は同じですからスペアナ自身で高調波を作っていると考えています。

お礼日時：2025/06/10 23:56