素数の平方根はすべて無理数ですか？

Question

答えも知りたいですが、答えにたどり着くまでの道筋をご説明願えればありがたいのですが・・・よろしくおねがいいたします。

mathematik · Accepted Answer

ならないと思います。　

確か素数の定義は、１とその数自身に約数を持たない数でしたよね。
その定義を使ってまず、整数の範囲を証明します。

ある素数の平方根が整数になったとすると、その素数は素数の定義に反します。
なぜならば、その素数は１とその数自身以外に約数を持ってしまうからです。
つまり素数の平方根は整数でない。
これで整数の場合を証明したことになります。
今度は有理数まで範囲を拡大します。

任意の分数を

　ｐ／ｑ

と考えたとき、ｑが１にならばこの分数は整数になり、整数の範囲は先ほど証明したので、ｑが１以外の場合を考えます（あたりまえですが０でもありません）。
さらにこの分数は約分が終了した形であるとします、つまりｐとｑはお互いに素です。
もし素数の平方根が分数で表されたとすると、その分数を二乗すると素数（整数）になるはずです。
しかし、ｐとｑはお互いに素なのでこれを二乗した

　ｐ＾２／ｑ＾２

も割り切れないため、これは整数ではありません。整数ではないということは、素数でもありません。
これで有理数全体を証明したことになります。
つまり素数の平方根は有理数の世界にはありません。
無理数ということになります。

まちがっていたらすみません。

mathematik · Answer

♯５を訂正します。
>ｑが１にならば
でなく、「ｑが１ならば」でした。
すみません。

yumisamisiidesu · Answer

たぶん、
n：1でない自然数のとき
(素数)^(1/n)はn次代数的数になると思います

legacysrm · Answer

#2の方に補足させてください

A≠1の場合はそのとおりですがA=1の場合も考えなくてはいけません。

A=1のときはP=B^2になってしまうのでやはり有理数ではないということになります

sat4 · Answer

仮に有理数だと仮定して、それが成立しないことを証明する方法が良いと思います。
　任意の素数をP、その平方根を√P=B/A（AとBは素）と仮定すると
P=√P×√P=B^2/A^2
AとBは互いに素であり、B^2/A^2は割り切れないので整数にならない。
従って、素数の平方根は有理数ではなく（素数Pは整数だから）、無理数となる。

keroro001 · Answer

URLを参考に・・・
え、えぇ、私チンプンカンプン（爆）

参考URL：http://d.hatena.ne.jp/qtea/searchdiary?word=*[%BF%F4%B3%D8]

素数の平方根はすべて無理数ですか？

ならないと思います。

♯５を訂正します。

たぶん、

#2の方に補足させてください

仮に有理数だと仮定して、それが成立しないことを証明する方法が良いと思います。

URLを参考に・・・

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